Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點．對稱軸為直線，點在拋物線上．

（1）求直線的解析式；

（2）為直線下方拋物線上的一點，連接、．當的面積最大時，在直線上取一點，過作軸的垂線，垂足為點，連接、．若時，求的值；

（3）將拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線，經過原點．與軸的另一個交點為．設是拋物線上任意一點，點在直線上，能否成為以點為直角頂點的等腰直角三角形？若能，直接寫出點的坐標．若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）能．，，，

【解析】

（1）求出C、D兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題；

（2）求出拋物線與軸交點、兩點的坐標，設，則，根據二次函數的性質求出E的坐標，可得當時，最大，因為關于直線的對稱點為，的垂直平分線交直線于點，過作軸的垂線，由勾股定理得，即可解決問題；

（3）存在．如圖2中．作P1M⊥x軸于M，P1N⊥對稱軸l于N．對稱軸l交OA于K，由△P1MF≌△P1NQ，推出P1M=P1N，推出點P在∠MKN的角平分線上，只要求出直線KP1的解析式，構建方程組即可解決問題，同法可求P3，P4．

解：（1）∵當時， ，

∴．

又∵在拋物線上，

∴

，

∴．

設的解析式為．

∴

解得：

∴的解析式為．

(2) ∵令，

∴．

解得：．

∴， ．

設，

∴．

∴當時，最大．

∴．

又∵關于直線的對稱點為，

∴的垂直平分線交直線于點，

∴過作軸的垂線，垂足為．

此時，，，．

在中，由勾股定理得：．

又∵直線與軸間的距離為1，

∴．

（3）能．，，

，