Question

【題目】某科技有限公司用160萬(wàn)元作為新產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)用，成功研制出了一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售．已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售價(jià)格x（元/件）的關(guān)系如圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)為s（萬(wàn)元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計(jì)入下一年的年利潤(rùn)，若上一年虧損，則虧損記作下一年的成本）

（1）請(qǐng)求出y（萬(wàn)件）與x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與x（元/件）的函數(shù)表達(dá)式，并求出第一年年利潤(rùn)的最大值；

（3）假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤(rùn)s（萬(wàn)元）取得最大值時(shí)進(jìn)行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年這種電子產(chǎn)品每件的銷售價(jià)格x（元/件）定在8元以上（x＞8），當(dāng)?shù)诙�年的年利�?rùn)不低于103萬(wàn)元時(shí)，請(qǐng)結(jié)合年利潤(rùn)s（萬(wàn)元）與銷售價(jià)格x（元/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價(jià)格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）s＝﹣（x﹣16）2﹣16，當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤(rùn)的最大值為﹣16萬(wàn)元；（3）11≤x≤21

【解析】

（1）依據(jù)待定系數(shù)法，即可求出y（萬(wàn)件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)x=8時(shí)，smax=-80；當(dāng)x=16時(shí)，smax=-16；根據(jù)-16＞-80，可得當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤(rùn)的最大值為-16萬(wàn)元．
（3）根據(jù)第二年的年利潤(rùn)s=（x-4）（-x+28）-16=-x2+32x-128，令s=103，可得方程103=-x2+32x-128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐標(biāo)系中，畫出s與x的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可得出銷售價(jià)格x（元/件）的取值范圍．

解：（1）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，設(shè)y＝，將A（4，40）代入得k＝4×40＝160，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝；

當(dāng)8＜x≤28時(shí)，設(shè)y＝k'x+b，將B（8，20），C（28，0）代入得，

，解得，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+28，

綜上所述，y＝；

（2）當(dāng)4≤x≤8時(shí)，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）﹣160＝﹣，

∵當(dāng)4≤x≤8時(shí)，s隨著x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝8時(shí)，smax＝﹣＝﹣80；

當(dāng)8＜x≤28時(shí)，s＝（x﹣4）y﹣160＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣160＝﹣（x﹣16）2﹣16，

∴當(dāng)x＝16時(shí)，smax＝﹣16；

∵﹣16＞﹣80，

∴當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為16元時(shí)，第一年年利潤(rùn)的最大值為﹣16萬(wàn)元．

（3）∵第一年的年利潤(rùn)為﹣16萬(wàn)元，

∴16萬(wàn)元應(yīng)作為第二年的成本，

又∵x＞8，

∴第二年的年利潤(rùn)s＝（x﹣4）（﹣x+28）﹣16＝﹣x2+32x﹣128，

令s＝103，則103＝﹣x2+32x﹣128，

解得x1＝11，x2＝21，

在平面直角坐標(biāo)系中，畫出s與x的函數(shù)示意圖可得：

觀察示意圖可知，當(dāng)s≥103時(shí)，11≤x≤21，

∴當(dāng)11≤x≤21時(shí)，第二年的年利潤(rùn)s不低于103萬(wàn)元．