Question

【題目】如圖1，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2）、點(diǎn)B（-2，0），過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC，以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

（1）填空：點(diǎn)D的坐標(biāo)為_________，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_______________.

（2）若拋物線經(jīng)過A、D、E三點(diǎn)，求該拋物線的解析式.

（3）若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移，直至正方形的頂點(diǎn)E落在軸上時(shí)，正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).

①在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為，求關(guān)于平移時(shí)間（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍.

②運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）D的坐標(biāo)為（-1，3），E的坐標(biāo)為（-3，2）；

（2）拋物線的解析式為；

（3）①S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

當(dāng)0＜t≤時(shí), S=5

當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=5t

當(dāng)1＜t≤時(shí)，S=-5t2+15t

②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（， ）.

【解析】（1）D（-1，3）、E（-3，2）（2分）

（2）拋物線經(jīng)過（0，2）、（-1，3）、（-3，2），則

解得

∴

（3）①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí)，t=.

當(dāng)0＜t≤時(shí)，如右圖

設(shè)D′C′交y軸于點(diǎn)F

∵tan∠BCO= =2,又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2, 即=2

∵CC′= t,∴FC′=2t.

∴S△CC′F =CC′·FC′= t×t=5 t2

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，t=1.當(dāng)＜t≤1時(shí)，如右圖

設(shè)D′E′交y軸于點(diǎn)G，過G作GH⊥B′C′于H.

在Rt△BOC中，BC=

∴GH= ,∴CH=GH=

∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-

∴S梯形CC′D′G =(t-+ t) =5t-

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí)，t=.

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如右圖所示

設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N

∵CC′=t，B′C′=,

∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-

∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t

∴E′M=E′N=(-t)

∴S△MNE′ =(-t)· (-t)=5t2-15t+

∴S五邊形B′C′D′MN =S正方形B′C′D′E′ -S△MNE′ = (5t2-15t+)=-5t2+15t-

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

當(dāng)0＜t≤時(shí), S=5

當(dāng)＜t≤1時(shí)，S=5t

當(dāng)1＜t≤時(shí)，S=-5t2+15t

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.如下圖所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′

∴△BOC∽△E′B′C

∴

∵OB=2，B′E′=BC=

∴

∴CE′=

∴OE′=OC+CE′=1+=

∴E′（0，）

由點(diǎn)E（-3，2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′（0， ）,可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位，向上平移了個(gè)單位.

∵=

∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）

∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）