Question

（2010•聊城）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=1上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，求使∠PCB=90°的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線對(duì)稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M；可先求出直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線對(duì)稱軸方程即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若∠PCB=90°，根據(jù)△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDP為等腰直角三角形，根據(jù)線段長(zhǎng)度求P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，且A（-1，0），
∴B（3，0）；
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），由于拋物線經(jīng)過C（0，-3），
則有：a（0+1）（0-3）=-3，a=1；
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；

（2）由于A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x=1對(duì)稱，
那么M點(diǎn)為直線BC與x=1的交點(diǎn)；
由于直線BC經(jīng)過C（0，-3），可設(shè)其解析式為y=kx-3，
則有：3k-3=0，k=1；
∴直線BC的解析式為y=x-3；
當(dāng)x=1時(shí)，y=x-3=-2，
即M（1，-2）；

（3）設(shè)經(jīng)過C點(diǎn)且與直線BC垂直的直線為直線l，作PD⊥y軸，垂足為D；
∵OB=OC=3，
∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，
∴P（1，-4）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及特殊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．