Question

如圖，已知直線y=-m（x-4）（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A為直徑作半圓，圓心為C．過(guò)A作x軸的垂線AT，M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（與O點(diǎn)不重合），過(guò)M點(diǎn)作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點(diǎn)為P．連接CN、CM．
（1）證明：∠MCN=90°；
（2）設(shè)OM=x，AN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）若OM=1，當(dāng)m為何值時(shí)，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖推出AT，OM是⊙C的切線．得出∠CMN=

1

2

∠OMN，∠CNM=

1

2

∠ANM，根據(jù)∠CMN+∠CNM=90°，求出∠MCN；
（2）由1推出∠1=∠3，證明Rt△MOC∽R(shí)t△CAN，利用線段比求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）因?yàn)橹本�AB平分梯形ANMO的面積推出FG的長(zhǎng)．求出直線MN的解析式后因?yàn)辄c(diǎn)F在直線MN上，易求點(diǎn)F的坐標(biāo)．然后又因?yàn)辄c(diǎn)F在直線y=-m（x-4）求出m值．

解答：證明：（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，
∴AT、OM是⊙C的切線，
又∵M(jìn)N切⊙C于點(diǎn)P，
∴∠CMN=

1

2

∠OMN，∠CNM=

1

2

∠ANM，
∵OM∥AN，
∴∠ANM+∠OMN=180°，
∴∠CMN+∠CNM=

1

2

∠OMN+

1

2

∠ANM=

1

2

（∠OMN+

1

2

∠ANM）=90°，
∴∠MCN=90°；

解：（2）由（1）可知：∠1+∠2=90°，而∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∴Rt△MOC∽R(shí)t△CAN，
∴

OM

AC

=

OC

AN

，
∵直線y=-m（x-4）交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴0=-m（x-4），
∴x=4，
∴A（4，0），
∴AC=CO=2，
∵OM=x，AN=y，
∵

x

2

=

2

y

，
∴y=

4

x

；

（3）
∵OM=1，
∴AN=y=4，此時(shí)S_{四邊形ANMO}=10，
∵直線AB平分梯形ANMO的面積，
∴△ANF的面積為5過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AN于G，則

1

2

FG•AN=5，
∴FG=

5

2

，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4-

5

2

=

3

2

，
∵M(jìn)（0，1），N（4，4），
∴直線MN的解析式為y=

3

4

x+1，
∵F點(diǎn)在直線MN上，
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=

17

8

，
∴F（

3

2

，

17

8

），
∵點(diǎn)F又在直線y=-m（x-4）上，
∴

17

8

=-m（

3

2

-4），
∴m=

17

20

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形的面積計(jì)算公式，難度中等．