Question

已知：（a+2b-10）²與|2a-3b+1|互為相反數(shù)，且a、b的值恰好為矩形ABCD的長(zhǎng)與寬，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A、D不重合），以BC為直徑的半圓O交PB于Q點(diǎn)，連接QC（如圖）．
（1）求矩形ABCD的長(zhǎng)與寬；
（2）設(shè)PB=x，△BQC的面積S_△BQC=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)S_△BQC最大時(shí)，求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，因而兩個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)等于0，即可求得a，b的值；
（2）證得△PAB∽△BQC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求解；
（3）當(dāng)S_△BQC最大時(shí)，BC邊上的高最大，此時(shí)Q點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)，在根據(jù)勾股定理即可求得PB的長(zhǎng)．

解答：解：（1）由題意，得

a+2b-10=0 2a-3b+1=0

解得

a=4 b=3

∴矩形的長(zhǎng)為4，寬為3；

（2）在Rt△PAB中AP=

BP2-AB2

=

x2-9

，
∴S△PAB=

3

2

x2-9

由矩形ABCD得AD∥BC?∠1=∠2，∠A=90°
又∵BC是半圓的直徑得∠BQC=90°
∴∠A=∠BQC
∴△PAB∽△BQC?

S△PAB

S△BQC

=(

BP

BC

)2?

3 2 x2-9

y

=(

x

4

)2?y=

24 x2-9

x2

自變量x的取值范圍是：3＜x＜5．

（3）當(dāng)S_△BQC最大時(shí)，BC邊上的高最大，此時(shí)Q點(diǎn)為半圓弧的中點(diǎn)．
∴QB=QC．
由（2）知：△PAB∽△BQC，∴AP=AB=3．
此時(shí)，PB=

AB2+AP2

=3

2

，即當(dāng)S_△BQC最大時(shí)，PB=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．