Question

如圖，已知C、D是雙曲線y=在第一象線內(nèi)的分支的兩點(diǎn)，直線CD分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，設(shè)C、D的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁）、（x₂，y₂）連結(jié)OC、OD．

（1）求證：y₁＜OC＜；
（2）若∠BOC=∠AOD=α，作DM⊥x軸于M，=，OC=OD=，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，雙曲線上是否存在一點(diǎn)P，使得S_△POD=S_△POC？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：過點(diǎn)C作CG⊥x軸，垂足為G，則CG=y₁，OG=x₁．
∵點(diǎn)C（x₁，y₁）在雙曲線y= 上，
∴x1=
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，
∴y₁＜OC＜y₁+
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO=∠BOC=α，
 ，即，y₁=3x₁
∵OC²=OG²+CG²，OC=，
∴10=x₁²+y₁²，即10=x₁²+（3x₁）²
解之，得x₁=±1．
∵負(fù)值不合題意，
∴x₁=1，y₁=3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，3）．
∵點(diǎn)C在雙曲線上，
∴，即m=3
∴雙曲線的解析式為
過點(diǎn)D作DH⊥x軸，垂足為H．
則DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，，即x₂=3y₂
又y₂= ，則3y₂²=3．
解之，得y₂=±1．
∵負(fù)值不合題意，
∴y₂=1，x₂=3
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，1）
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．則有
解得
∴直線CD的解析式為y=-x+4
（3）解：雙曲線上存在點(diǎn)P，使得S_△POC=S_△POD，
這個(gè)點(diǎn)P就是∠COD的平分線與雙曲線 的交點(diǎn)
證明如下：
∵點(diǎn)P在∠COD的平分線上．
∴點(diǎn)P到OC、OD的距離相等．
又OD=
∴S_△POD=S_△POC．