Question

在一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與十位數(shù)字之間插入0，1，2，…，9中的一個(gè)數(shù)碼得到的四位數(shù)恰是原三位數(shù)的9倍，求這樣的三位數(shù)中最小的數(shù)與最大的數(shù)分別是多少？

Answer 1

設(shè)原來的三位數(shù)為

.

abc

，百位與十位之間插入的數(shù)字為x，插入后得到的四位數(shù)記

.

axbc

，則有

.

axbc

=9•

.

abc

且a≠0．
即1000a+100x+10b+c=9（100a+10b+c），整理得100a+100x=80b+8c．（*）
所以8c是10的倍數(shù)，即c=0或c=5．（4分）
1當(dāng)c=0時(shí)，（*）變?yōu)?00a+100x=80b2，即10（a+x）=8b3，
所以8b是10的倍數(shù)，解得b=0或b=5．
若b=0，則有10（a+x）=0，那么a=x=0，這與a≠0矛盾；
若b=5，則有10（a+x）=8×5，a+x=4，而a≠0，所以a=1，2，3，4，
所以當(dāng)c=0時(shí)，最大的三位數(shù)為450，最小的三位數(shù)為150．（7分）
4當(dāng)c=5時(shí)，（*）變?yōu)?00a+100x=80b+405，即10（a+x）=8b+46，
所以8b+4是10的倍數(shù)，因此b=2或b=7．
若b=2，則有10（a+x）=8×2+4，即a+x=2，又a≠0，所以a=1，2；
若b=7，則有10（a+x）=8×7+4，即a+x=6．又a≠0，所以a=1，2，3，4，5，6．
從而當(dāng)c=5時(shí)，最小的三位數(shù)是125，最大的三位數(shù)是675．（9分）
由①，②可知，滿足題意的最小三位數(shù)是125，最大三位數(shù)是675．（10分）