Question

現用a根長度相同的火柴棒，按如圖①擺放時可擺成m個正方形，按如圖②擺放時可擺成2n個正方形．

（1）如圖①，當m=3時，a=　　；
如圖②，當m=2時，a=　　；
（2）當a=37時，若按圖①擺放可以擺出了幾個正方形？若按圖②擺放可以擺出了幾個正方形？
（3）現有2013根火柴棒，現用若干根火柴棒擺成圖①的形狀后，剩下的火柴棒剛好可以擺成圖②的形狀．請你直接寫出一種擺放方法，并通過計算驗證你的結論．

Answer 1

（1）10，12；（2）12，14；（3）詳見試題解析.

試題分析：（1）根據每多一個正方形多用2根火柴棒寫出擺放m個正方形所用的火柴棒的根數，然后把m=3代入進行計算即可得解；
根據每多2個正方形多用5根火柴棒寫出擺放2n個小正方形所用的火柴棒的根數，然后把m=2代入進行計算即可得解；
（2）根據a相等列出關于m、n的關系式；
（3）可以擺出圖①說明a是比3的倍數多1的數，可以擺出圖②說明2a是比5的倍數多2的數，所以，2a取5與6的倍數大2的數，并且現有2013根火柴棒進而得出答案．
試題解析：（1）由圖可知，圖①每多1個正方形，多用3根火柴棒，所以，m個小正方形共用3m+1根火柴棒，
圖②每多2個正方形，多用5根火柴棒，所以，2n個小正方形共用5n+2根火柴棒，
當m=3時，a=3×3+1=10，
圖②可以擺放2×5=12個小正方形；
故答案為：10，12；
（2）當a=37時，
3m+1=37，
解得：m=12，
5n+2=37，
解得；n=7，
按圖①擺放可以擺出了12個正方形，
若按圖②擺放可以擺出14個正方形；  
（3）∵3m+1+5n+2=2013，
∴3m+5n=2010，
當m=10，n=396，是方程的根，
∴第一個圖形擺放3×10+1=31根火柴棒，
第二個圖形擺放5×396+2=1982根火柴棒，
∵31+1982=2013，
∴符合題意（答案不唯一）．