Question

如圖1，菱形ABOC的對(duì)角線OA、BC交于點(diǎn)D，∠BOC=60°，，E為AC邊中點(diǎn)，BE與OA交于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)O（包含頂點(diǎn)O）開始沿OA方向以每秒個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C（包含頂點(diǎn)C）出發(fā)沿CB方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）若記以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，分別求出點(diǎn)P在線段OD（不含點(diǎn)D）和在線段AF（不含點(diǎn)F）上時(shí)，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量x的取值范圍．
（2）若以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求x的值．
（3）如圖2，若點(diǎn)M、N分別在菱形的邊OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA內(nèi)部繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過程中，請(qǐng)你探究OM+AN的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，以及P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度，即可得出x的取值范圍，再利用P點(diǎn)位置的不同，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí)，以及當(dāng)EQ∥BP時(shí)，當(dāng)PE∥BQ時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，△BOC和△ABC是等邊三角形，進(jìn)而求出△OBM≌△CBN，得出答案即可．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，如圖1，x的取值范圍為：，
過點(diǎn)E作EH⊥BC，則，，
由，∠BOC=60°，
四邊形OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=，
∴，
∴EH=，
從而有：
 =，
當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí)，如圖2，x的取值范圍為，過點(diǎn)E作EH⊥BC，過點(diǎn)E作EG⊥AD，
則S=S_△ABC-S_△QEC-S_△EPA-S_△BPA，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=，
∴sin30°=，從而有EG=，
∴，
=，
綜上，；

（2）能成為梯形，分三種情況：
當(dāng)PQ∥BE時(shí)，如圖3，∵菱形ABOC的對(duì)角線OA、BC交于點(diǎn)D，∠BOC=60°，
∴△OBC與△ABC都是等邊三角形，
∵E為AC邊中點(diǎn)，
∴BE平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∵PQ∥BE，
∴∠PQD=∠DBE=30°，
∴，
即，
∴，
此時(shí)PB不平行QE，∴時(shí)，四邊形PBEQ為梯形．
當(dāng)PE∥BQ時(shí)，如圖4，P為DA中點(diǎn)，∴OP=，
即，
∴，
此時(shí)，BQ=，
∴時(shí)，四邊形PEQB為梯形．
當(dāng)EQ∥BP時(shí)，如圖5，△QEH∽△BPD，
∴，
∴，
∴x=1或x=0，
此時(shí)，BQ不平行于PE，∴x=1或x=0時(shí)，四邊形PEQB為梯形．
綜上所述，當(dāng)或或1或0時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

（3）OM+AN的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：連接BC，
如圖6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，
△BOC和△ABC是等邊三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN
∴OM+AN=CN+AN=AC=2．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與相似三角形以及梯形的綜合應(yīng)用，根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí)，以及當(dāng)EQ∥BP時(shí)，當(dāng)PE∥BQ進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．