Question

如圖1，菱形ABOC的對(duì)角線OA、BC交于點(diǎn)D，∠BOC=60°，OA=2

3

，E為AC邊中點(diǎn)，BE與OA交于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)O（包含頂點(diǎn)O）開始沿OA方向以每秒2

3

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C（包含頂點(diǎn)C）出發(fā)沿CB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．
（1）若記以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形面積為S，分別求出點(diǎn)P在線段OD（不含點(diǎn)D）和在線段AF（不含點(diǎn)F）上時(shí)，S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量x的取值范圍．
（2）若以P、B、E、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求x的值．
（3）如圖2，若點(diǎn)M、N分別在菱形的邊OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA內(nèi)部繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)你探究OM+AN的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，以及P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度，即可得出x的取值范圍，再利用P點(diǎn)位置的不同，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí)，以及當(dāng)EQ∥BP時(shí)，當(dāng)PE∥BQ時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求出即可；
（3）由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，△BOC和△ABC是等邊三角形，進(jìn)而求出△OBM≌△CBN，得出答案即可．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí)，如圖1，x的取值范圍為：0≤x＜

1

2

，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，則，S=S△PBQ+S△EBQ=

1

2

BQ•PD+

1

2

BQ•EH，
由OA=2

3

，∠BOC=60°，
四邊形OBAC是菱形得AC=BC=2，OD=

3

，∠ACD=60°，
在Rt△ECH中，sin∠ECH=

EH

EC

，
∴

3

2

=

EH

1

，
∴EH=

3

2

，
從而有：
 S=

1

2

×(2-x)×(

3

-2

3

x)+

1

2

×(2-x)×

3

2

=

3

x2-

11

4

3

x+

3

2

3

，
當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí)，如圖2，x的取值范圍為

2

3

＜x≤1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD，
則S=S_△ABC-S_△QEC-S_△EPA-S_△BPA，
在Rt△EAG中，sin∠EAG=

EG

EA

，
∴sin30°=

EG

1

，從而有EG=

1

2

，
∴S=

1

2

×2×

3

-

1

2

×x×

3

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×

1

2

-

1

2

×(2

3

-2

3

x)×1，
=

5 3

4

x-

3

2

，
綜上，S=

3 x2- 11 3 4 x+ 3 3 2 (0≤x＜ 1 2 ) 5 3 4 x- 3 2 ( 2 3 ＜x≤1)

；

（2）能成為梯形，分三種情況：
當(dāng)PQ∥BE時(shí)，如圖3，∵菱形ABOC的對(duì)角線OA、BC交于點(diǎn)D，∠BOC=60°，
∴△OBC與△ABC都是等邊三角形，
∵E為AC邊中點(diǎn)，
∴BE平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，
∵PQ∥BE，
∴∠PQD=∠DBE=30°，
∴

DP

DQ

=tan30°=

3

3

，
即

3 -2 3 x

1-x

=

3

3

，
∴x=

2

5

，
此時(shí)PB不平行QE，∴x=

2

5

時(shí)，四邊形PBEQ為梯形．
當(dāng)PE∥BQ時(shí)，如圖4，P為DA中點(diǎn)，∴OP=

3 3

2

，
即2

3

x=

3 3

2

，
∴x=

3

4

，
此時(shí)，BQ=2-x≠

5

4

，
∴x=

3

4

時(shí)，四邊形PEQB為梯形．
當(dāng)EQ∥BP時(shí)，如圖5，△QEH∽△BPD，
∴

HE

DP

=

QH

BD

，
∴

3 2

2 3 x- 3

=

x- 1 2

1

，
∴x=1或x=0，
此時(shí)，BQ不平行于PE，∴x=1或x=0時(shí)，四邊形PEQB為梯形．
綜上所述，當(dāng)x=

2

5

或

3

4

或1或0時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

（3）OM+AN的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：連接BC，
如圖6，由∠BOC=60°，ABOC是菱形得，
△BOC和△ABC是等邊三角形，
∴BC=BO，∠OBC=60°，∠BOM=∠BCN=60°，
又∵∠MBN=60°，∴∠OBM=∠CBN，
∴△OBM≌△CBN，
∴OM=CN
∴OM+AN=CN+AN=AC=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與相似三角形以及梯形的綜合應(yīng)用，根據(jù)當(dāng)PQ∥BE時(shí)，以及當(dāng)EQ∥BP時(shí)，當(dāng)PE∥BQ進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．