Question

（2013•河北）一透明的敞口正方體容器ABCD-A′B′C′D′裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為α（∠CBE=α，如圖1所示）．探究 如圖1，液面剛好過(guò)棱CD，并與棱BB′交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示．
解決問(wèn)題：
（1）CQ與BE的位置關(guān)系是

CQ∥BE

，BQ的長(zhǎng)是

3

dm；
（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V_液=底面積S_△BCQ×高AB）
（3）求α的度數(shù)．（注：sin49°=cos41°=

3

4

，tan37°=

3

4

）

拓展：在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖．若液面與棱C′C或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC=x，BQ=y．分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的α的范圍．
延伸：在圖4的基礎(chǔ)上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長(zhǎng)方形隔板（厚度忽略不計(jì)），得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NM⊥BC．繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)α=60°時(shí)，通過(guò)計(jì)算，判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4dm³．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)水面與水平面平行可以得到CQ與BE平行，利用勾股定理即可求得BQ的長(zhǎng)；
（2）液體正好是一個(gè)以△BCQ是底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積；
（3）根據(jù)液體體積不變，據(jù)此即可列方程求解；
延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H，此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱，求得棱柱的體積，即可求得溢出的水的體積，據(jù)此即可作出判斷．

解答：解：（1）CQ∥BE，BQ=

52-42

=3；

（2）V_液=

1

2

×3×4×4=24（dm³）；

（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

3

4

，
∴α=∠BCQ=37°．
當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，0°≤α≤37°，
∵液體體積不變，
∴

1

2

（x+y）×4×4=24，
∴y=-x+3．
當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4．同理可得：y=

12

4-x

；
當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B′重合時(shí)，如圖5，
由BB′=4，且

1

2

PB•BB′×4=24，得PB=3，
∴由tan∠PB′B=

3

4

，得∠PB′B=37°．
∴α=∠B′PB=53°．此時(shí)37°≤α≤53°；

延伸：當(dāng)α=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FN∥EB，GB′∥EB，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BB′于點(diǎn)H．
在Rt△B′GH中，GH=MB=2，∠GB′B=30°，
∴HB′=2

3

．
∴MG=BH=4-2

3

＜MN．
此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G為底面的直棱柱．
∵S_△NFM+S_MBB′G=

1

2

×

3

3

×1+

1

2

（4-2

3

+4）×2=8-

11 3

6

．
∴V_溢出=24-4（8-

11 3

6

）=

22 3

3

-8＞4（dm³）．
∴溢出液體可以達(dá)到4dm³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的體積計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，正確理解棱柱的體積的計(jì)算是關(guān)鍵．