Question

如圖：正方形OABC中，B點的坐標為（2，2）．D、E分別在邊AB、BC上，F在BC的延長線上．且AD=CF，∠EDO=∠DOC．
（1）猜想△OAD與△OCF能否通過旋轉重合？請證明你的猜想．
（2）若D是AB的中點．求直線DE的解析線．

Answer 1

分析：（1）利用SAS可判定△OAD≌△OCF，繼而結合圖形可判斷出答案．
（2）先求出點D坐標，設CE=x，則EF=EC+CF=EC+AD=x+1，BE=2-x，進而根據角的關系可確定DE的長度，在Rt△BDE中，利用勾股定理可解出x的值，繼而得出點E的坐標，也可得出DE的解析式．

解答：解：（1）△OAD與△OCF能通過旋轉重合；
證明：在△OAD和△OCF中，

OA=OC ∠OAD=∠OCF AD=CF

，
∴△OAD≌△OCF，
∴OAD繞點O順時針旋轉90°與△OCF重合．

（2）∵D是AB的中點，
∴D（1，2），AD=CF=1，
設CE=x，則EF=EC+CF=x+1，BE=2-x，連接DF，
∵∠OFC=∠ODA=∠DOC=∠ODE，OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠EDF=∠EFD，
∴DE=EF=x+1，
在Rt△BDE中，BD²+BE²=DE²，
∴1+（2-x）²=（x+1）²，
解得：x=

2

3

，
∴E（2，

2

3

），
設DE的解析式為：y=kx+b，
則

k+b=2 2k+b= 2 3

，
解得：

k=- 4 3 b= 10 3

，
∴直線DE的解析式為：y=-

4

3

x+

10

3

．

點評：此題考查了正方形的性質、待定系數法求函數解析式、勾股定理及旋轉的性質，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是熟練各基礎知識點的應用，一步步解答．