Question

如圖1，已知點P是線段AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD．
（1）求證：△APD≌△CPB．
（2）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），這種情況“△APD≌△CPB”的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
（3）如圖1，設(shè)∠AQC=α，求α的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由正三角形的三條邊、三個內(nèi)角都相等的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；
（2）證法同（1）；
（3）根據(jù)（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．

解答：（1）證明：如圖1，∵△APC、△BDP是等邊三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD與△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（2）成立．理由如下：
如圖2，∵△APC、△BDP是等邊三角形，
∴PA=PC，PD=PB，∠APC=∠BPD=60°，
∴∠APD=∠CPB，
∴在△APD與△CPB中，

PA=PC ∠APD=∠CPB PD=PB

，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（3）由（1）知，△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，
∴∠AQC=180°-120°=60°，即α=60°．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵．