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        1. 如圖1,已知點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A,B重合),分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側(cè)作正△APC和正△PBD.
          (1)求證:△APD≌△CPB.
          (2)如圖2,若點(diǎn)P固定,將△PBD繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于90°),這種情況“△APD≌△CPB”的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
          (3)如圖1,設(shè)∠AQC=α,求α的度數(shù).
          分析:(1)由正三角形的三條邊、三個(gè)內(nèi)角都相等的性質(zhì),根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論;
          (2)證法同(1);
          (3)根據(jù)(1)中全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等,然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解.
          解答:(1)證明:如圖1,∵△APC、△BDP是等邊三角形,
          ∴PA=PC,PD=PB,∠APC=∠BPD=60°,
          ∴∠APD=∠CPB,
          ∴在△APD與△CPB中,
          PA=PC
          ∠APD=∠CPB
          PD=PB

          ∴△APD≌△CPB(SAS);

          (2)成立.理由如下:
          如圖2,∵△APC、△BDP是等邊三角形,
          ∴PA=PC,PD=PB,∠APC=∠BPD=60°,
          ∴∠APD=∠CPB,
          ∴在△APD與△CPB中,
          PA=PC
          ∠APD=∠CPB
          PD=PB
          ,
          ∴△APD≌△CPB(SAS);

          (3)由(1)知,△APD≌△CPB,
          ∴∠PAD=∠PCB,
          ∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°,
          ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°,
          ∴∠AQC=180°-120°=60°,即α=60°.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),以及全等三角形的判定與性質(zhì),正確證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          29、先閱讀理解兩條正確結(jié)論,并用這兩條結(jié)論完成應(yīng)用與探究.閱讀:
          正確結(jié)論1.在圖甲△ABC中,如果D是AB的中點(diǎn),DE∥BC交AC于點(diǎn)E,那么E也是AC的中點(diǎn),及DE是中位線.
          正確結(jié)論2.在圖乙梯形ABCD中,如果E為腰AB的中點(diǎn)且EF∥AD∥BC.那么F也是CD的中點(diǎn),及EF是中位線.
          應(yīng)用:如圖丙,已知,MN是平行四邊形ABCD外的一條直線,AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN,A′、B′、C′、D′為垂足.求證:AA′+CC′=BB′+DD′.
          探究:如圖丁,若直線MN向上移動(dòng),使點(diǎn)C在直線一側(cè),A、B、D三點(diǎn)在直線另一側(cè),則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系?先對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜想,然后加以證明.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•潮陽(yáng)區(qū)模擬)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F,
          (1)若取AB的中點(diǎn)M,可證AE=EF,請(qǐng)寫出證明過程.
          (2)如圖2,若點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”是否仍然成立,若成立,請(qǐng)寫出證明過程;若不成立,請(qǐng)說明理由;

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          一數(shù)學(xué)研究小組探究了以下相關(guān)的兩個(gè)問題,請(qǐng)你也試試.
          (1)如圖1,已知△ABC,BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線.試探究∠A與∠BOC的度數(shù)之間的關(guān)系.
          (2)如圖2,已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心,點(diǎn)O′是△ABC外接圓的圓心.試探究∠BOC與∠BO′C的度數(shù)之間的關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          一數(shù)學(xué)研究小組探究了以下相關(guān)的兩個(gè)問題,請(qǐng)你也試試.
          (1)如圖1,已知△ABC,BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線.試探究∠A與∠BOC的度數(shù)之間的關(guān)系.
          (2)如圖2,已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心,點(diǎn)O′是△ABC外接圓的圓心.試探究∠BOC與∠BO′C的度數(shù)之間的關(guān)系.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008年四川省樂山市沐川縣中考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題

          先閱讀理解兩條正確結(jié)論,并用這兩條結(jié)論完成應(yīng)用與探究.閱讀:
          正確結(jié)論1.在圖甲△ABC中,如果D是AB的中點(diǎn),DE∥BC交AC于點(diǎn)E,那么E也是AC的中點(diǎn),及DE是中位線.
          正確結(jié)論2.在圖乙梯形ABCD中,如果E為腰AB的中點(diǎn)且EF∥AD∥BC.那么F也是CD的中點(diǎn),及EF是中位線.
          應(yīng)用:如圖丙,已知,MN是平行四邊形ABCD外的一條直線,AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN,A′、B′、C′、D′為垂足.求證:AA′+CC′=BB′+DD′.
          探究:如圖丁,若直線MN向上移動(dòng),使點(diǎn)C在直線一側(cè),A、B、D三點(diǎn)在直線另一側(cè),則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系?先對(duì)結(jié)論進(jìn)行猜想,然后加以證明.

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