Question

【題目】如圖,AB是☉O的直徑,點C在☉O上,過點C的直線與AB的延長線交于點P,∠COB=2∠PCB.

(1)求證:PC是☉O的切線;

(2)點M是弧AB的中點,CM交AB于點N,若MN·MC=8,求☉O的直徑.

Answer 1

【答案】（1）由題意得到半徑OC⊥PC, ∴PC是⊙O的切線（2）AB=4

【解析】

試題分析（1）：因為同圓中半徑相等，得到相等的角，直徑所對的圓周角為90°，再由已知，經(jīng)過等量代換，半徑與直線垂直。（2）連接AM，BM.由題意易得△ANC∽△NMA,由已知一邊的長為8，根據(jù)相似三角形的相似比求之。注意的是；相似比找準對應邊。通過角找邊容易。1）證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO.

∴∠COB=2∠ACO.

又∵∠COB=2∠PCB，

∴∠ACO =∠PCB. ........................................................ 1分

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO +∠OCB="90" .

∴∠PCB +∠OCB="90，" 即OC⊥CP.

∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線. ………………………2分

（2）解：連接MA、MB.（如圖）

∵點M是弧AB的中點，

∴∠ACM=∠BAM.

∵∠AMC=∠AMN，

∴△AMC∽△NMA. …………………………3分

∴.

∴.

∵=8，

∴. ............................................................. 4分

∵AB是⊙O的直徑，點M是弧AB的中點，

∴∠AMB=90，AM=BM=.

∴. 5分