Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)D不重合）．

（1）如圖1，當(dāng)b=2a，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到邊AD的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)證明∠BMC=90°；

（2）如圖2，當(dāng)a=2，b=5，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，∠BMC=90°；

（3）如圖3，在第（2）問(wèn)的條件下，若另一動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿邊C→M→B運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)M、點(diǎn)N的出發(fā)時(shí)間與運(yùn)動(dòng)速度都相同，過(guò)點(diǎn)N作AD和垂線交AD于點(diǎn)H，當(dāng)△MNH與△MBC相似時(shí)，求MH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）AM=1或4時(shí)，∠BMC=90°；（3）△MNH與△MBC相似時(shí)，MH=8﹣或﹣2．

【解析】

試題分析：（1）由b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，則可求得∠BMC=90°；（2）根據(jù)已知條件得到∠AMB+∠DMC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABM=∠DMC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．（3）①當(dāng)點(diǎn)N在CM上時(shí)，由△MNH與△MBC相似，得到∠BMC=∠MHN=90°，當(dāng)AM=CN=1時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求得結(jié)論；當(dāng)AM=CN=4時(shí)，DM=1，CM=＜4，這種情況不存在；②當(dāng)點(diǎn)N在BM上時(shí)，當(dāng)AM=CN=1時(shí)，同理這種情況不存在；當(dāng)AM=CN=4時(shí)，即CM+MN=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）證明：∵b=2a，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，

∴AB=AM=MD=DC=a，

又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AMB=∠DMC=45°，

∴∠BMC=90°．

（2）解：若∠BMC=90°，

則∠AMB+∠DMC=90°，

又∵∠AMB+∠ABM=90°，

∴∠ABM=∠DMC，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△ABM∽△DMC，

∴，

設(shè)AM=x，則，

∴x=1或4，

∴AM=1或4時(shí)，∠BMC=90°；

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)N在CM上時(shí)，

∵△MNH與△MBC相似，

∴∠BMC=∠MHN=90°，

當(dāng)AM=CN=1時(shí)，

∴DM=4，∴CM=2，

∴MN=2﹣1，

∵NH⊥AD，∠D=90°，

∴NH∥CD，

∴，

∴，

∴MH=8﹣；

當(dāng)AM=CN=4時(shí)，

DM=1，CM=＜4，

∴這種情況不存在；

②當(dāng)點(diǎn)N在BM上時(shí)，

當(dāng)AM=CN=1時(shí)，同理這種情況不存在；

當(dāng)AM=CN=4時(shí)，即CM+MN=4，

∵CM=，

∴MN=4﹣，BM=2，

∵HN∥AB，

∴△MHN∽ABM，

∴，即，

∴MH=﹣2．

綜上所述：△MNH與△MBC相似時(shí)，MH=8﹣或﹣2．