Question

在平面直角坐標系中，拋物線y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．
（1）直接寫出A、B、C、D的坐標：A

（1，0）

，B

（3，0）

，C

（0，3）

，D

（2，-1）

；
（2）若點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；
（3）連接CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程，即可得到點A、B的坐標，令x=0，求出y的值，即可得到點C的坐標，把拋物線解析式整理成頂點式形式，即可得到點D的坐標；
（2）根據點B、C的坐標利用勾股定理求出BC的長度，然后過點A作AE⊥BC于點E，設對稱軸與x軸相交于點F，然后求出AE、AF的長度以及CE的長度，可以證明△AEC與△AFP相似，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出PF的長度，再分點P在x軸的上方與下方兩種情況寫出點P的坐標；
（3）方法一：找出點A關于y軸的對稱點A′，根據軸對稱性可知∠OCA′=∠OCA，然后利用勾股定理求出A′D、A′C、CD的長度，再根據勾股定理逆定理證明△A′DC是等腰直角三角形，從而得解；
方法二：連接BD，根據點B、C、D的坐標可得∠CBD=90°，然后求出△CBD與△COA相似，根據相似三角形對應角相等可得∠BCD=∠OCA，從而得解．

解答：解：（1）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點A、B的坐標分別為A（1，0），B（3，0），
令x=0，則y=3，
∴點C的坐標為C（0，3），
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴頂點為D（2，-1）；

（2）∵B（3，0），C（0，3），
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=

32+32

=3

2

，
如圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，過點A作AE⊥BC，
∵∠APD=∠ACB，∠AEC=∠AFP=90°，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，
又∵A（1，0），B（3，0），拋物線的對稱軸為x=2，
∴AF=

1

2

AB=1，
AE=BE=

2

，
CE=BC-BE=3

2

-

2

=2

2

，
∴

2

1

=

2 2

PF

，
解得PF=2，
當點P在x軸上方時，點P的坐標為（2，2），
當點P在x軸下方時，點P的坐標為（2，-2），
∴點P的坐標為（2，2）或（2，-2）；

（3）方法一：如圖，作點A（1，0）關于y軸的對稱點A′（-1，0），
∴∠OCA′=∠OCA，
∴A′C=

12+32

=

10

，
A′D=

12+32

=

10

，
CD=

(1+3)2+22

=

20

，
∴A′C²+A′D²=CD²，
∴△A'DC是等腰直角三角形，
∴∠OCA+∠OCD=∠OCA′+∠OCD=45°；
方法二：如圖，連接BD，∵B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
∴∠CBO=∠OBD=45°，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠COA，
又∵

BC

OC

=

3 2

3

=

2

，

BD

OA

=

2

1

=

2

，
∴

BC

OC

=

BD

OA

，
∴△CBD∽△COA，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=45°．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，與坐標軸的交點坐標的求解，頂點坐標的求解，以及二次函數的對稱性，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，綜合性較強，但難度不是很大．