Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．

要直接求∠A的度數(shù)顯然很因難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)，如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．

∴　 　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等邊三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°

∴∠BAP＝　 　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　 　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝　 　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）PD，∠CAD，∠APB，90；（2）135°．

【解析】

（1）如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．只要證明△ABP≌△ACD（SAS），推出BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC，再利用勾股定理的逆定理即可解決問題；

（2）把△PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，想辦法證明△BPD是等腰三角形即可解決問題；

（1）如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．

∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB，∠BAC＝60°，

∴∠BAP＝∠CAD，

∴△ABP≌△ACD（SAS），

∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2

∴∠PDC＝90°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．

（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，

∴把△PAC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，

∴BD＝PC＝3，AD＝AP＝2，∠PAD＝90°，

∴△PAD為等腰直角三角形，

∴DP＝PA＝2，∠DPA＝45°，

在△BPD中，PB＝2，PD＝2，DB＝3，

∵12+（2）2＝32，

∴AP2+PD2＝BD2，

∴△BPD為直角三角形，

∴∠BPD＝90°，

∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．