Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=3，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止．現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點(diǎn)，如圖(2)

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有            及           ；
（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由）；
（3）問：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形。

Answer 1

解：（1）始終與△AGC相似的三角形有△HAB和△HGA；．………（2分）
（2）證得△AGC∽△HAB，．              ………………………（4分）
∴AC：HB=GC：AB，即3：y=x：3，
∴y=                              ………………………（5分）
答：y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=
（3）∵∠GAH=45°，分三種情況討論：
第一種當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形的底角時(shí)，如圖（1）：可得CG=x=．……（7分）
第二種當(dāng)∠GAH=45°是等腰三角形的頂角時(shí)，如圖（2）：可得CG=3 ……………（9分）
第三種當(dāng)CG=BC時(shí)，注意：DF才旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，此時(shí)B，E，G重合，∠AGH=∠GAH=45°，所以△AGH為等腰三角形，所以CG=
答：當(dāng)x為=、或3時(shí)，△AGH是等腰三角形．．………（10分）
解析:
（1）根據(jù)△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，利用相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．
（2）由△AGC∽△HAB，利用其對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的關(guān)系式：3：y=x：3即可．
（3）此題要采用分類討論的思想，當(dāng)CG＜1/2BC時(shí)，當(dāng)CG=1/2BC時(shí)，當(dāng)CG＞1/2BC時(shí)分別得出即可