Question

【題目】如圖1，點A在第一象限，軸于B點，連結(jié)，將折疊，使點落在x軸上，折痕交邊于D點，交斜邊于E點，（1）若A點的坐標為，當時，點的坐標是______；（2）若與原點O重合，，雙曲線的圖象恰好經(jīng)過D，E兩點（如圖2），則____．

Answer 1

【答案】（，0）

【解析】

（1）由題意可求得OA的長，再根據(jù)三角函數(shù)與折疊的性質(zhì)可得AE：OE的值，進而可求得AE與OE的長，然后由勾股定理求得OA′的長即得答案；

（2）首先設點A的坐標為（2a，2b），進而可表示出點E和點D的坐標，然后在Rt△OBD和Rt△OAB中，利用勾股定理可得關于a、b的方程組，解方程組即可求出a、b的值，進而可得結(jié)果．

解：（1）∵AB⊥x軸，A點的坐標為（4，3），∴OB＝4，AB＝3，∴OA＝，

∵EA′∥AB，∴EA′⊥x軸，∴sin∠AOB＝，

由折疊的性質(zhì)可得：A′E＝AE，∴AE：OE＝3：5，

∴A′E＝AE＝，OE＝，

∴，

∴點A′的坐標是：（，0）；

（2）設點A的坐標為：（2a，2b），

∵A′與原點O重合，∴點E的坐標為：（a，b），

∵雙曲線的圖象恰好經(jīng)過D、E兩點，∴k＝ab，

∴點D的坐標為：（2a，b），

∴AB＝2b，BD＝b，OB＝2a，

由折疊的性質(zhì)可得：OD＝AD＝AB﹣BD＝，

在Rt△OBD中，OD2＝OB2+BD2，即（）2＝（2a）2+（b）2①，

在Rt△OAB中，OA2＝OB2+AB2，即42＝（2a）2+（2b）2②，

聯(lián)立①②解得：，∴k＝ab＝．

故答案為：（1）（，0）；（2）．