Question

四邊形ABCD為直角梯形，AD：BC=2：3，E為DC邊上的中點，連接AE交BD于H點，過點H作HN⊥AD于N，NH的延長線交BC于點M，則：①AH：HE=4：3；②M為BC的中點；③S_{四邊形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD，則正確的結(jié)論有（　�。�

A．只有①②

B．只有①③

C．只有②③

D．①②③

Answer 1

分析：連結(jié)BE，過E點作EF∥BC交AB于點F，交MN于點G．
①通過求解得到S_△BDE=

1

2

×S_△BCD=

1

2

×

3

2

S_△ABD=

3

4

S_△ABD，即可作出判斷；
②根據(jù)梯形中位線定理得到AD：FE：BC=2：2.5：3，從而得到BM=FG=

4

7

FE=

10

21

BC，即可作出判斷；
③分別求出S_△ABH，2S_△AHD，S_{四邊形BHEC}與S_{四邊形ABCD}的關(guān)系，即可作出判斷．

解答：解：連結(jié)BE，過E點作EF∥BC交AB于點F，交MN于點G．
①∵E為DC邊上的中點，
∴S_△BDE=S_△CBE，
∵AD：BC=2：3，
∴S_△BDE=

1

2

×S_△BCD=

1

2

×

3

2

S_△ABD=

3

4

S_△ABD，
即S_△ABD：S_△BDE=4：3，
∴AH：HE=4：3；故①正確；
②∵AH：HE=4：3，
∴FG：GE=4：3，
∵AD：BC=2：3，
∴AD：FE：BC=2：2.5：3，
∴BM=FG=

4

7

FE=

10

21

BC，
故M不為BC的中點；故②錯誤；
③S_△ABH=

1

2

S_{四邊形ABCD}×

4

7

=

2

7

S_{四邊形ABCD}，
2S_△AHD=2×

1

2

S_{四邊形ABCD}×

2

5

×

4

7

=

8

35

S_{四邊形ABCD}，
S_{四邊形BHEC}=S_{四邊形ABCD}-（

2

7

S_{四邊形ABCD}，+

1

2

S_{四邊形ABCD}×

2

5

）=

18

35

S_{四邊形ABCD}，
∵

18

35

S_{四邊形ABCD}-

2

7

S_{四邊形ABCD}=

8

35

S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD；故③正確．
故選B．

點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)的中位線定理，等高的三角形面積之間的關(guān)系，有一定的難度．