Question

如圖，⊙O半徑為2，直徑CD以O(shè)為中心，在⊙O所在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，當CD轉(zhuǎn)動時，OA固定不動，0°≤∠DOA≤90°，且總有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC與⊙O交于E，連AD，設(shè)CE為x，四邊形ABCD的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出x的取值范圍；
（2）當x=2

3

時，求四邊形ABCD在圓內(nèi)的面積與四邊形ABCD的面積之比；
（3）當x取何值時，四邊形ABCD為直角梯形？連EF，此時OCEF變成什么圖形？（只需說明結(jié)論，不必證明）

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD不是規(guī)則的四邊形，可將其分成平行四邊形ABCO和△AOD兩部分來求解，連接DE，過O作OH⊥BC于H，那么不難得出OH是△CDE的中位線，在直角三角形CDE中，可用直徑和CE的長求出DE的值，然后即可得出OH的長，進而可根據(jù)四邊形ABCD的面積計算方法求出y，x的函數(shù)關(guān)系式．下面說x的取值范圍，0°≤∠DOA≤90°；因此0≤cos∠DOA≤1，而cos∠DOA=

CE

CD

=

x

4

；因0≤

x

4

≤1，即0≤x≤4；
（2）連接OE，那么四邊形的圓內(nèi)部分可分為扇形ODE和△OCE兩部分，△OCE的面積容易求得；重點說明扇形ODE的面積計算方法，關(guān)鍵是求出圓心角∠DOE的度數(shù)；在直角三角形CDE中，CD=4，CE=2

3

，因此∠DCE=30°；根據(jù)圓周角定理，∠DOE=2∠DCE=60°；根據(jù)扇形的面積公式即可求出扇形ODE的面積；然后再分別計算出△OCE的面積和四邊形ABCD的面積，進行比較即可．
（3）當∠CDA=90°，∠DAO=30°所以∠DCB=∠DOA=60°此時△OCE為等邊三角形，所以x=2時，四邊形ABCD為直角梯形，
此時OCEF變成了菱形．

解答：解：（1）連接DE，過O作OH⊥BC于H，則DE⊥BC，OH∥DE，
∵CD=4，CE=x，
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

，
∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

，
∴y=S_?ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

，
=3

16-x2

（0≤x≤4），
∴x的取值范圍為0≤x≤4；

（2）當x=2

3

時，
∵CE=2

3

，CD=4，
∴DE=2，∠C=30°，
∴∠DOE=60°，OH=1，
∵S_{圓內(nèi)部分}=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

，
∵S_{四邊形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6，
∴S_{圓內(nèi)部分}：S_{四邊形ABCD}=

2π+3 3

18

，
∴四邊形ABCD在圓內(nèi)的面積與四邊形ABCD的面積之比為（2π+3

3

）：18；

（3）當∠CDA=90°，
由OA=2OD，得∠DAO=30°
所以∠DCB=∠DOA=60°
此時△OCE為等邊三角形，所以x=2時，四邊形ABCD為直角梯形，
連EF，此時OCEF變成了菱形

點評：本題主要考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、圖形面積的求法、三角函數(shù)、直角梯形的判定等知識點的綜合運用能力．