Question

如圖，點(diǎn)F為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，M為EF上一點(diǎn)，且D、M關(guān)于AF對(duì)稱，B、M關(guān)于AE對(duì)稱，∠CFE的平分線交AE的延長(zhǎng)線于G，交BC于N，連CG，下列結(jié)論：①△AFG為等腰直角三角形；②CG=2

2

CN；③S_△CEF=S_△ABE，其中正確的有（　�。�

A．只有①

B．只有②

C．①②

D．①②③

Answer 1

分析：①連接AM．先由D、M關(guān)于AF對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出△ADF≌△AMF，DM⊥AF，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)得到∠EFG=∠FMD，則DM∥FG，由AF⊥DM，得到FG⊥AF，然后證明∠EAF=45°，從而得到△AFG為等腰直角三角形，判斷①正確；
②連接AC．由∠AGF=∠ACF=45°，得到A、G、C、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得出∠ACG=∠AFG=90°，∠CAG=∠CFG，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出△CAG∽△CFN，則CG：CN=CA：CF，設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a，用含a的代數(shù)式分別表示CF，AC，從而得出CG=2

2

CN，判斷②正確；
③設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a，BE=ME=x，在△CEF中由勾股定理得到EF²=CE²+CF²，即（a+x）²=（2a-x）²+a²，求出x=

2

3

a，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到S_△CEF=S_△ABE，判斷③正確．

解答：解：①連接AM．
∵D、M關(guān)于AF對(duì)稱，
∴△ADF≌△AMF，DM⊥AF，
∴∠FAD=∠FAM=

1

2

∠DAM，∠ADF=∠AMF=90°，
∴∠DAM+∠DFM=360°-∠ADF-∠AMF=180°，
∵∠CFE+∠DFM=180°，
∴∠CFE=∠DAM．
∵∠EFG=∠CFG=

1

2

∠CFE，
∴∠EFG=∠FAM，
∵∠FAM=∠FMD=90°-∠AFM，
∴∠EFG=∠FMD，
∴DM∥FG，
∵AF⊥DM，
∴FG⊥AF．
∵B、M關(guān)于AE對(duì)稱，
∴△ABE≌△AME，
∴∠BAE=∠MAE=

1

2

∠BAM，
∴∠MAE+∠FAM=

1

2

∠BAM+

1

2

∠DAM=45°，即∠EAF=45°，
∴△AFG為等腰直角三角形，故①正確；
②連接AC．
∵∠AGF=∠ACF=45°，
∴A、G、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠ACG=∠AFG=90°，∠CAG=∠CFG．
在△CAG與△CFN中，

∠ACG=∠FCN=90° ∠CAG=∠CFN

，
∴△CAG∽△CFN，
∴CG：CN=CA：CF．
設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a，那么CF=a，AC=2

2

a，
∴CG：CN=2

2

a：a=2

2

，
∴CG=2

2

CN，故②正確；
③設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為2a，BE=ME=x，則CF=DF=MF=a，CE=2a-x，
在△CEF中，∵∠ECF=90°，
∴EF²=CE²+CF²，
∴（a+x）²=（2a-x）²+a²，
整理，得4a²-6ax=0，
∵a≠0，
∴x=

2

3

a，
∴CE=2a-

2

3

a=

4

3

a．
∵S_△CEF=

1

2

CE•CF=

1

2

•

4

3

a•a=

2

3

a²，
S_△ABE=

1

2

BE•AB=

1

2

•

2

3

a•2a=

2

3

a²，
∴S_△CEF=S_△ABE，故③正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．