Question

如圖，點(diǎn)F為正方形內(nèi)一點(diǎn)，在正方形外有一點(diǎn)E，滿足∠ABF=∠CBE，BF=BE．
（1）求證：△ABF≌△CBE；
（2）連接EF，試判斷△BEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)CF：BF=1：2，∠BFC=135°時，求cos∠FCE的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=BC，根據(jù)SAS證出即可；
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)推出BE=BF，根據(jù)正方形性質(zhì)推出∠ABF+∠FBC=90°，證∠FBC+∠CBE=90°即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)推出∠BFE=45°，推出∠CFE=90°，設(shè)CF=a，BF=2a，求出CE=3a，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出即可．

解答：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC，
∵∠ABF=∠CBE，BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）．

（2）解：△BEF的形狀是等腰直角三角形，
證明：∵△ABF≌△CBE，
∴BF=BE，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
即∠ABF+∠FBC=90°，
∵∠ABF=∠CBE，
∴∠FBC+∠CBE=90°，
即∠FBE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形．

（3）解：設(shè)CF=a，BF=2a，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=45°，
∵∠BFC=135°，
∴∠CFE=90°，
由勾股定理得：CE=

CF2+EF2

=3a，
∴cos∠FCE=

CF

CE

=

a

3a

=

1

3

．
答：cos∠FCE的值是

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查對銳角三角函數(shù)的定義，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．