Question

如圖，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A(-1，0)，　 C(2，)兩點，與x軸交于另一點B；

　 (1) 求此拋物線的解析式；

　 (2) 若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點(不與點B重合)，點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=y₂，求y₂與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

　 (3) 在同一平面直角坐標系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點E，G，與(2)中的

　　 函數圖像交于點F，H。問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m，n之間的數量關系；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：(1) ∵拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A(-1，0)，C(0，)兩點，∴，∴a= -，

　 　　　b=，∴拋物線的解析式為y₁= -x²+x+。

　 (2) 作MN⊥AB，垂足為N。由y₁= -x²+x+易得M(1，2)， N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°。根據勾股定理有BM ²-BN ²=PM ²-PN ²。

　　 ∴(2)²-2²=PM²= -(1-x)²…j，又∠MPQ=45°=∠MBP，

　　 ∴△MPQ~△MBP，∴PM²=MQ?MB=y₂?2…k。

　　 由j、k得y₂=x²-x+�！�0∠x<3，∴y₂與x的函數關系式為y₂=x²-x+(0∠x<3)。

(3) 四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是

　　 m+n=2(0∠m∠2，且m¹1)�！唿cE、G是拋物線y₁= -x²+x+

　　 分別與直線x=m，x=n的交點，∴點E、G坐標為

　　 E(m，-m²+m+)，G(n，-n²+n+)。同理，點F、H坐標

　　 為F(m，m²-m+)，H(n，n²-n+)。

　　 ∴EF=m²-m+-(-m²+m+)=m²-2m+1，GH=n²-n+-(-n²+n+)=n²-2n+1。

　　 ∵四邊形EFHG是平行四邊形，EF=GH�！�m²-2m+1=n²-2n+1，∴(m+n-2)(m-n)=0。

　　 由題意知m≠n，∴m+n=2 (0∠m∠2，且m≠1)。

　　 因此，四邊形EFHG可以為平行四邊形，m、n之間的數量關系是m+n=2 (0∠m∠2，且m≠1)。