Question

如圖，拋物線y₁=ax²-2ax+b經過A（-1，0），C（2，）兩點，與x軸交于另一點B；

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，點P為線段OB上一動點（不與點 B重合），點Q在線段MB上移動，且∠MPQ=45°，設線段OP=x，MQ=y₂，求y₂與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在同一平面直角坐標系中，兩條直線x=m，x=n分別與拋物線交于點E，G，與（2）中的函數(shù)圖像交于點F，H。問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求m，n之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線y1=ax2-2ax+b經過A（-1，0），C（0，）兩點， ∴，∴a=-，b=， ∴拋物線的解析式為y1=-x2+x+； （2）作MN⊥AB，垂足為N。 由y1=-x2+x+易得M（1，2），N（1，0）， A（-1，0），B（3，0）， ∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，∠MBN=45°， 根據(jù)勾股定理有BM2-BN2=PM2-PN2， ∴（2）2-22=PM2=-（1-x）2…①， 又∠MPQ=45°=∠MBP， ∴△MPQ~△MBP， ∴PM2=MQ×MB=y2×2…②， 由①、②得y2=x2-x+， ∵0≤x<3， ∴y2與x的函數(shù)關系式為y2=x2-x+（0≤x<3）； （3）四邊形EFHG可以為平行四邊形， m、n之間的數(shù)量關系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）， ∵點E、G是拋物線y1=-x2+x+分別與直線x=m，x=n的交點， ∴點E、G坐標為E（m，-m2+m+），G（n，-n2+n+）， 同理，點F、H坐標為F（m，m2-m+），H（n，n2-n+）， ∴EF=m2-m+-（-m2+m+）=m2-2m+1， GH=n2-n+-（-n2+n+）=n2-2n+1， ∵四邊形EFHG是平行四邊形，EF=GH， ∴m2-2m+1=n2-2n+1， ∴（m+n-2）（m-n）=0， 由題意知m≠n， ∴m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）， 因此，四邊形EFHG可以為平行四邊形， m、n之間的數(shù)量關系是m+n=2（0≤m≤2，且m≠1）。