Question

在半徑為4的⊙O中，點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E是射線AB上的任意一點(diǎn)，DF∥AB，DF與CE相交于點(diǎn)F，設(shè)EF=x，DF=y．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，求線段DF的長(zhǎng)；
（3）如果以點(diǎn)E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）連接OC．

∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=

1

2

AE=

1

2

（AO+OE）．
∵點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE=

CE2-OC2

=

4x2-16

=2

x2-4

．
∴y=

1

2

（4+2

x2-4

）=2+

x2-4

．定義域?yàn)閤≥2；

（2）當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，連接OC、OF．

EF=

1

2

CE=OF=4，
∴OC=OB=

1

2

AB=4．
∴DF=2+

42-4

=2+2

3

．

（3）當(dāng)⊙E與⊙O外切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（x+4）²=4²，3x²-8x-32=0，
∴x₁=

4+4 7

3

，x₂=

4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB+BE）=

1

2

（8+

4+4 7

3

）=

14+2 7

3

．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)B時(shí)，BE=FE．
∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

（AB-BE）=

1

2

（8-

-4+4 7

3

）=

14-2 7

3

．
當(dāng)⊙E與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)A時(shí)，AE=FE．∵CE²-OE²=CO²，
∴（2x）²-（4-x）²=4²，3x²+8x-32=0．
∴x₁=

-4+4 7

3

，x₂=

-4-4 7

3

（舍去）．
∴DF=

1

2

AE=

2 7 -2

3

．