Question

【題目】（探究證明）（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請你給出證明：

如圖①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，GH分別交AB、DC于點(diǎn)G、H，求證：；

（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖②，將矩形ABCD沿EF折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的長；

（拓展運(yùn)用）（3）如圖③，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，請求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝；（3）BP＝．

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，如圖1，易證AP=EF，GH=BQ，△ABP∽△BCQ，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；

(2)連接BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BD的長，再根據(jù)結(jié)論（1）得出，進(jìn)而可求出EF的長.

（3）過點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD、CD的長，由結(jié)論（1）可得出DG的長，再由勾股定理得出AG的長，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出四邊形HGPF是矩形，進(jìn)而得出FH的長度，最后根據(jù)相似三角形得出BJ、PJ的長度就可以得出BP的長度.

（1）如圖①，過點(diǎn)A作AP∥EF，交BC于P，過點(diǎn)B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四邊形AEFP、四邊形BGHQ都是平行四邊形，

∴AP＝EF，GH＝BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠BAT+∠ABT＝90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，

∴∠ABT+∠CBQ＝90°，

∴∠BAP＝∠CBQ，

∴△ABP∽△BCQ，

∴,

∴.

（2）如圖②中，連接BD．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，

∴BD＝,

∵D，B關(guān)于EF對稱，

∴BD⊥EF，

∴ ,

∴ ,

∴EF＝ .

（3）如圖③中，過點(diǎn)F作FH⊥EG于H，過點(diǎn)P作PJ⊥BF于J．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，

∴= ,

∴DG＝，

∴AG＝＝1，

由翻折可知：ED＝EG，設(shè)ED＝EG＝x，

在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，

∴x2＝AG2+AE2，

∴x2＝（3﹣x）2+1，

∴x＝，

∴DE＝EG＝，

∵FH⊥EG，

∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，

∴四邊形HGPF是矩形，

∴FH＝PG＝CD＝2，

∴EH＝，

∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，

∵PF∥EG，EA∥FB，

∴∠AEG＝∠JPF，

∵∠A＝∠FJP＝90°，

∴△AEG∽△JFP，

∴，

∴，

∴FJ＝，PJ＝，

∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，

在Rt△BJP中，BP＝．