Question

【題目】已知在扇形AOB中，圓心角∠AOB＝120°，半徑OA＝OB＝8．

（1）如圖1，過點O作OE⊥OB，交弧AB于點E，再過點E作EF⊥OA于點F，求FO的長，∠FEO的度數(shù)；

（2）如圖2，設(shè)點P為弧AB上的動點，過點P作PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，點M，N分別在半徑OA，OB上，連接MN，則

①求點P運動的路徑長是多少？

②MN的長度是否是定值？如果是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）在（2）中的條件下，若點D是△PMN的外心，直接寫出點D運動的路經(jīng)長．

Answer 1

【答案】（1）OF＝4，∠FEO＝60°，（2）①點P運動的路徑長為；②MN＝4，是定值；（3）點D運動的路經(jīng)長為．

【解析】

（1）先求出∠AOE，即可得出結(jié)論；

（2）①當點M與點O重合時，∠PMB＝30°，當點N與點O重合時，∠PNA＝30°，進而求出點P運動路徑所對的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，最后用弧長公式即可得出結(jié)論；

②先判斷出點P，M，O，N四點均在同一個圓，即⊙H上，進而求出MK＝2，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出三角形PMN的外接圓的圓心的運動軌跡，最后根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．

（1）∵OE⊥OB，

∴∠BOE＝90°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AOE＝30°，

∵EF⊥OA，

∴∠EFO＝90°，

在Rt△EFO中，OE＝OB＝8．

∴OF＝OEcos30°＝4，∠FEO＝90°﹣30°＝60°，

故答案為：4，60；

（2）①點P在弧AB上運動，其路徑也是一段弧，由題意可知，

當點M與點O重合時，∠PMB＝30°，

當點N與點O重合時，∠PNA＝30°，

∴點P運動路徑所對的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點P運動的路徑長＝；

②是定值；

如圖1，連接PO，取PO的中點H，連接MH，NH，

∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，點H是斜邊PO的中點，

∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4，

∴根據(jù)圓的定義可知，點P，M，O，N四點均在同一個圓，即⊙H上，

又∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴∠MPN＝60°，∠MHN＝2∠MPN＝120°，

過點H作HK⊥MN，垂足為點K，

由垂徑定理得，MK＝KN＝MN，

∴在Rt△HMK中，∠MHK＝60°，MH＝4，則MK＝2，

∴MN＝2MK＝4，是定值．

（3）由（2）知，點P，M，O，N四點共圓，

∴H是△PMN的外接圓的圓心，

即：點H和點D重合，

∴OD＝PD，

∴點D是以點O為圓心OP＝4為半徑，

∵點P運動路徑所對的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點D運動路徑所對的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點D運動的路經(jīng)長為．