Question

【題目】如圖，在中，，，，半徑為2的從點(diǎn)開始（如圖①）沿直線向右滾動，滾動時(shí)始終與直線相切（切點(diǎn)為），當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)滾動停止．作于點(diǎn)．

（1）圖①中，在邊上截得的弦長______；

（2）當(dāng)圓心落在上時(shí)，如圖②，判斷與的位置關(guān)系，請說明理由；

（3）在滾動過程中，線段的長度隨之變化，設(shè)，，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）與相切，詳見解析；（3）

【解析】

（1）要求的長度，需做輔助線構(gòu)造，由圓的半徑相等、與圓相切及特殊角，利用等量代換將所求線段轉(zhuǎn)化為已知線段求解；

（2）猜想與相切，但未知切點(diǎn)，常用方法為作垂線，證半徑，結(jié)合直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半求解；

（3）線段之間的函數(shù)關(guān)系式，一般為一次函數(shù)，分三種情況討論：點(diǎn)在左側(cè)；點(diǎn)在上；點(diǎn)在右側(cè)三種情況，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)及切線性質(zhì)求解．

解：（1）連接，，如解圖①，，，

∵，∴，∴為等邊三角形，∴．

圖①

（2）與相切；

理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如解圖②，

圖②

∵與相切于點(diǎn)，∴，

在中，，∴，

又∵，∴，在中，，

∴，在中，，

∴，即為的半徑，∴與相切；

（3）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，；

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，連接交于點(diǎn)，如解圖③，

圖③

∵與相切于點(diǎn)，∴，

又∵，∴，

在中，，

∴，∴，

∴在中，，

此時(shí)的取值范圍是：；

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，連接并延長交于點(diǎn)，如解圖④，

圖④

同理可得：，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

在中，

，

此時(shí)的取值范圍是：．

綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式為．