Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，2），一動(dòng)點(diǎn)P沿過(guò)B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，射線BM與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（3）若P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），求t的值．
（4）在（2）（3）的條件下，當(dāng)CQ=CP時(shí)，求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）設(shè)拋物線方程為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

；
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2

5

；
則：BP=t，CP=2

5

-t，CQ=t；
①CP=CQ，則有：2

5

-t=t，
解得：t=

5

；
②CQ=QP，過(guò)Q作QM′⊥BC于M′，則有：
CM′=

1

2

（2

5

-t）；
易證△CQM′∽△CBO，
則：

CQ

CB

=

CM′

OC

，
即

t

2 5

=

1 2 (2 5 -t)

4

，
解得：t=

10

4+ 5

=

40-10 5

11

；
③CP=PQ，過(guò)P作PN⊥OC于N，則：
CN=

1

2

CQ=

1

2

t；
易證△CNP∽△COB，則有：

CN

OC

=

CP

CB

，
即

1 2 t

4

=

2 5 -t

2 5

，
解得t=

8 5

4+ 5

=

32 5 -40

11

；
綜上所述，當(dāng)t=

5

或

40-10 5

11

或

32 5 -40

11

時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：當(dāng)CP=CQ時(shí)，BP=t=

5

=

1

2

BC，即P是BC的中點(diǎn)，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直線OP的解析式為：y=

1

2

x；
聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2 y= 1 2 x

，
解得

x=1+ 5 y= 1+ 5 2

，

x=1- 5 y= 1- 5 2

；
∴直線OP與拋物線的交點(diǎn)為（1+

5

，

1+ 5

2

），（1-

5

，

1- 5

2

）．