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        1. 【題目】如圖,點P是正方形ABCD對角線AC上一動點,點E在射線BC上,且PBPE,連接PD,OAC中點.

          (1)如圖1,當點P在線段AO上時,試猜想PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,不用說明理由;

          (2)如圖2,當點P在線段OC上時,(1)中的猜想還成立嗎?請說明理由;

          (3)如圖3,當點PAC的延長線上時,請你在圖3中畫出相應的圖形(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法),并判斷(1)中的猜想是否成立?若成立,請直接寫出結(jié)論;若不成立,請說明理由.

          【答案】(1)PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為:PEPDPEPD;(2)成立,理由見解析;(3)成立,理由見解析.

          【解析】

          1)根據(jù)點P在線段AO上時,利用三角形的全等判定可以得出PEPD,PEPD

          2)利用三角形全等得出,BPPD,由PBPE,得出PEPD,要證PEPD;從三方面分析,當點E在線段BC上(EB、C不重合)時,當點E與點C重合時,點P恰好在AC中點處,當點EBC的延長線上時,分別分析即可得出;

          3)利用PEPB得出P點在BE的垂直平分線上,利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心,PB為半徑畫弧即可得出E點位置,利用(2)中證明思路即可得出答案.

          (1)當點P在線段AO上時,

          ABPADP,

          ∴△ABP≌△ADP

          BPDP,

          PBPE,

          PEPD,

          過點PPMCD于點M,作PNBC,于點N,

          PBPE,PNBE

          BNNE,

          BNDM,

          DMNE,

          RtPNERtPMD中,

          PDPENEDM,

          RtPNERtPMD

          ∴∠DPM=∠EPN

          ∵∠MPN90°,

          ∴∠DPE90°

          PEPD,

          PEPD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為:PEPDPEPD;

          (2)∵四邊形ABCD是正方形,AC為對角線,

          BADA,∠BAP=∠DAP45°,

          PAPA,

          ∴△BAP≌△DAP(SAS),

          PBPD,

          又∵PBPE,

          PEPD

          (i)當點E與點C重合時,點P恰好在AC中點處,此時,PEPD

          (ii)當點EBC的延長線上時,如圖.

          ∵△ADP≌△ABP,

          ∴∠ABP=∠ADP

          ∴∠CDP=∠CBP,

          BPPE,

          ∴∠CBP=∠PEC

          ∴∠PEC=∠PDC

          ∵∠1=∠2,

          ∴∠DPE=∠DCE90°

          PEPD

          綜合(i)(ii),PEPD;

          (3)同理即可得出:PEPDPDPE

          練習冊系列答案
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