Question

如圖，在平面直角坐標系中，兩個函數(shù)y1=x，y2=-

1

2

x+6的圖象交于點A．動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動，運動時間是t．作PQ∥X軸交直線BC于點Q，以PQ為一邊向下作正方形PQMN，設它與△OAB重疊部分的面積為S，如圖1．
（1）求點A的坐標．
（2）當t 為何值時，正方形PQMN的邊MN恰好落在x軸上？如圖2．
（3）當點P在線段OA上運動時，
①求出S與運動時間t（秒）的關系式．
②S是否有最大值？若有，求出t為何值時，S有最大值，并求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立兩直線解析式，解方程組即可得到交點A的坐標；
（2）先求出點B的坐標，從而得到OB的長，設正方形的邊長為a，根據(jù)相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式求出正方形PQMN的邊長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求出OP，即可得解；
（3）①利用勾股定理求出OA，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出PQ，然后分MN在x軸下方與不在x軸下方兩種情況，根據(jù)矩形的面積公式與正方形的面積公式列式整理即可得解；
②根據(jù)二次函數(shù)的最值問題對①中兩個解析式分別求出最大值，比較即可得解．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=x y=- 1 2 x+6

，
解得

x=4 y=4

，
所以，點A的坐標為（4，4）；

（2）令y=0，則-

1

2

x+6=0，
解得x=12，
∴點B的坐標為（12，0），
∴OB=12，
正方形PQMN的邊MN恰好落在x軸上時，設正方形的邊長為a，
∵PQ∥OB，
∴△APQ∽△AOB，
∴

4-a

4

=

PQ

OB

=

a

12

，
解得a=3，
∵點P在直線y=x上，
∴△OPN是等腰直角三角形，
∴OP=

2

•PN=

2

a=3

2

，
∵點P運動的速度為每秒1個單位，
∴t=3

2

；

（3）①∵A（4，4），
∴OA=

42+42

=4

2

，
∴AP=OA-OP=4

2

-t，
∵PQ∥x軸，
∴△APQ∽△AOB，
∴

AP

OA

=

PQ

OB

，
即

4 2 -t

4 2

=

PQ

12

，
解得PQ=12-

3 2

2

t，
當0≤t＜3

2

秒，MN在x軸的下方，重疊部分是矩形，
此時S=PQ•

2

2

OP=（12-

3 2

2

t）×

2

2

t=-

3

2

t²+6

2

t，
當3

2

≤t≤4

2

秒時，MN不在x軸下方，重疊部分的正方形，
此時S=PQ²=（12-

3 2

2

t）²，
綜上所述，S與t的關系式為S=

- 3 2 t2+6 2 t(0≤t＜3 2 ) (12- 3 2 2 t)2(3 2 ≤t≤4 2 )

；

②t=2

2

秒時，S有最大值為12．
理由如下：當0≤t＜3

2

秒時，S=-

3

2

t²+6

2

t=-

3

2

（t-4

2

t+8）+12=-

3

2

（t-2

2

）²+12，
所以，當t=2

2

秒時，S有最大值為12，
當3

2

≤t≤4

2

秒時，S=（12-

3 2

2

t）²，
拋物線的對稱軸為直線t=-4

2

，
又∵t≤4

2

時，S隨t的增大而減小，
∴t=3

2

時，S有最大值為：（12-

3 2

2

×3

2

）²=9，
∵12＞9，
∴當t=2

2

秒時，S有最大值為12．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，相似三角形的判定與性質，二次函數(shù)的最值問題，難點在于要分情況討論．