Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²+5x-24=0的兩個實(shí)數(shù)根，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）求直線OD的函數(shù)表達(dá)式；
（3）點(diǎn)P是直線OD上的一個動點(diǎn)，當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）解方程x²+5x-24=0得到它的兩個實(shí)數(shù)根，進(jìn)一步得到點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法得到直線OD的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x），當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，分三種情況：①如果PA=PD；②如果AP=AD；③如果DP=DA；討論可求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²+5x-24=0，
得x₁=-8，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-8，3）；

（2）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，A（0，3），B（-8，3），
∴D（-4，3）；
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
則3=-4k，解得k=-

3

4

，
∴直線OD的函數(shù)表達(dá)式為y=-

3

4

x；

（3）∵A（0，3），D（-4，3），
∴AD=4．
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x），當(dāng)以P、A、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，分三種情況：
①如果PA=PD，那么點(diǎn)P在AD的垂直平分線上，
∴x=-2，-

3

4

x=

3

2

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，

3

2

）；
②如果AP=AD，那么x²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-4（與D點(diǎn)重合舍去），x₂=

28

25

，
當(dāng)x=

28

25

時，-

3

4

x=-

21

25

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

28

25

，-

21

25

）；
③如果DP=DA，那么（x+4）²+（-

3

4

x-3）²=16，
解得x₁=-

36

5

，x₂=-

4

5

，
當(dāng)x=-

36

5

時，-

3

4

x=

27

5

，
當(dāng)x=-

4

5

時，-

3

4

x=

3

5

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，

3

2

）；（

28

25

，-

21

25

）；（-

36

5

，

27

5

），（-

4

5

，

3

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識點(diǎn)有：解方程，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的判定與性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)．