Question

12．拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D在該拋物線對(duì)稱軸上，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)∠ODB為銳角時(shí)，m的取值值范圍為$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$；
（3）平行于y軸的一條直線x=n（n＜3）交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)BF、BC，求當(dāng)n為何值時(shí)，△BEF∽△COB．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2（a≠0），得$\left\{\begin{array}{l}a-b+2=0\\ 9a+3b+2=0\end{array}\right.$，求出a，b的值，即可解答．
（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，m），當(dāng)∠ODB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理求出m的值，所以當(dāng)∠ODB為銳角時(shí)，m的取值值范圍為：m＞$\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
（3）由題知E（n，0）、F（n，$-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2$），分兩種情況討論：當(dāng)n＜-1時(shí)，當(dāng)-1＜n＜3時(shí)，由△BEF∽△COB，得到$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，進(jìn)一步得到關(guān)于n的方程，即可求出n的值．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2（a≠0），
得$\left\{\begin{array}{l}a-b+2=0\\ 9a+3b+2=0\end{array}\right.$ 
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
（2）如圖1，當(dāng)∠ODB=90°時(shí)，

∵拋物線的解析式$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，
∵D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，m），
在Rt△DEO中，OD²=OE²+DE²=1²+m²=1+m²，
在Rt△DEB中，DB²=DE²+BE²=m²+2²=m²+4，
在Rt△ODB中，OB²=OD²+BD²
即3²=1+m²+m²+4，
解得：m=$±\sqrt{2}$，
∴當(dāng)∠ODB為銳角時(shí)，m的取值值范圍為：m＞$\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
故答案為：$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$．
（3）由題知E（n，0）、F（n，$-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2$），
當(dāng)n＜-1時(shí)，如圖2，

由△BEF∽△COB，$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，
即$\frac{{-（-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2）}}{3}=\frac{3-n}{2}$，
整理得：4n²+n-39=0，
解得，${n_1}=-\frac{13}{4}，{n_2}=3$（舍去），
當(dāng)-1＜n＜3時(shí)，如圖3，

由△BEF∽△COB，$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，
即$\frac{{（-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2）}}{3}=\frac{3-n}{2}$，
整理得：4n²-17n+15=0，
解得，${n_1}=\frac{5}{4}，{n_2}=3$（舍去），
綜上，當(dāng)n的值等于$-\frac{13}{4}$、$\frac{5}{4}$時(shí)，△BEF∽△COB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求二次函數(shù)的解析式、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)定理，解決本題（3）的關(guān)鍵是進(jìn)行分類(lèi)討論，利用相似三角形的性質(zhì)定理得到關(guān)于n的方程．