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        1. 【題目】如圖,已知AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,過點(diǎn)C的直線與AB的延長線交于點(diǎn)P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

          (1)求證:PC是O的切線;

          (2)求證: ;

          (3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MN·MC的值.

          【答案】(1)(2)見解析(3)8

          【解析】試題分析:(1)已知C在圓上,故只需證明OC與PC垂直即可;根據(jù)圓周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,故PC是⊙O的切線;

          (2)AB是直徑;故只需證明BC與半徑相等即可;

          (3)連接MA,MB,由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM,進(jìn)而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC,代入數(shù)據(jù)可得MNMC=BM2=8.

          試題解析:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,

          又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,∴∠A=∠ACO=∠PCB,

          又∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACO+∠OCB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,

          即OC⊥CP,

          ∵OC是⊙O的半徑,∴PC是⊙O的切線

          (2)∵AC=PC,∴∠A=∠P,∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.

          又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,∴∠COB=∠CBO,∴BC=OC,

          (3)連接MA,MB,

          ∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),∴ 弧AM=弧BM,∴∠ACM=∠BCM,

          ∵∠ACM=∠ABM,∴∠BCM=∠ABM,

          ∵∠BMN=BMC,∴△MBN∽△MCB,

          又∵AB是⊙O的直徑,弧AM=弧BM,

          ∴∠AMB=90°,AM=BM,

          AB=4,,

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