Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線FA⊥x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，連DM并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C．
（1）判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，4），試求MC的長(zhǎng)及直線DC的解析式．

Answer 1

分析：（1）直線與圓的關(guān)系無(wú)非是相切，相交和相離，只要連接OM證明OM是否與DC垂直即可得出結(jié)論．
解題思路：通過(guò)證明三角形AOD和DOM全等來(lái)求解．已知的條件有OA=OM，一條公共邊OD，只要證明出兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角相等即可．
可通過(guò)OD∥MB，OM=OB來(lái)證得．
（2）求MC的長(zhǎng)就要求出DC的長(zhǎng)，也就是要求出AC的長(zhǎng)．已知了D的坐標(biāo)，那么AD，OA，AB的長(zhǎng)就都知道了．
不難得出三角形OMC和DAC相似，因此可得出OM，AD，CM，AC的比例關(guān)系．已知了AD，OM的長(zhǎng)，就能求出MC，AC的比例關(guān)系了．
在直角三角形ADC中，AD的長(zhǎng)已知，DC=DM+MC=DA+MC，那么可根據(jù)勾股定理和MC，AC的比例關(guān)系求出MC的長(zhǎng)．也就求出了M的坐標(biāo)．有了M和D的坐標(biāo)可以用待定系數(shù)法求出DC所在直線的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）答：直線DC與⊙O相切于點(diǎn)M．
證明如下：連OM，∵DO∥MB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OB=OM，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠4．
在△DAO與△DMO中，

AO=OM ∠2=∠4 DO=DO

．
∴△DAO≌△DMO．
∴∠OMD=∠OAD．
由于FA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴∠OAD=90°．
∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．
∴DC切⊙O于M．

（2）由D（-2，4）知OA=2（即⊙O的半徑），AD=4．
由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知

MC

AC

=

OM

AD

=

2

4

=

1

2

．
∴AC=2MC，
在Rt△ACD中，CD=MC+4．
由勾股定理，有（2MC）²+4²=（MC+4）²，解得MC=

8

3

或MC=0（不合題意，舍去）．
∴MC的長(zhǎng)為

8

3

．
∴點(diǎn)C（

10

3

，0）．
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b．
則有

0= 10 3 k+b 4=-2k+b

．
解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴直線DC的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形，相似三角形的判斷與性質(zhì)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，利用全等三角形和相似三角形來(lái)得出線段相等或成比例是解題的關(guān)鍵．