Question

【題目】四邊形ABCD為菱形，點E在邊AD上，點F在邊CD上

(1) 若AE=CF，求證：EB=BF

(2) 若AD=4，DE=CF，且△EFB為等邊三角形，求四邊形DEBF的面積

(3) 若∠DAB=60°，點H在邊BC上，且BH=HC=2．若∠DFA=2∠HAB，直接寫出CF的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S四邊形DEBF=；（3）；

【解析】

（1）因為四邊形ABCD為菱形，得出AB=BC，∠EAB=∠FBC，又由AE=CF，得出△ABE≌△BCF（SAS），進而得出EB=BF.

（2）連接BD，截取AH=CF，由（1）中得知，△ABE≌△BCF（SAS），得出BH=BF=BE，進而可知∠BHE=∠BEH，∠AHB=∠BED，從而可判定△DEB≌△AHB，得出AB=BD，可判定△DEB≌△CFB，進而得出四邊形DEBF的面積等于菱形ABCD面積減去三角形ABD面積，即為三角形ABD的面積，即可得解.

（3）延長AD，作FM⊥AM，交于M，延長DC、AH交于點K，由∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB，可得出∠FAK=∠HAB=∠FKA，進而得出AF=FK，因此DF=4-CF，DM=2-CF，MF=（4-CF），進而得出AM=4+2-CF=6-CF，根據(jù)勾股定理，

進而得出關(guān)于CF的方程，即可求出CF.

（1） 證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，∠EAB=∠FBC，

又∵AE=CF，

∴△ABE≌△BCF（SAS）

∴EB=BF.

（2）如圖所示，連接BD，截取AH=CF

由（1）中得知，△ABE≌△BCF（SAS）

∴BH=BF=BE

∴∠BHE=∠BEH

∴∠AHB=∠BED

∴△DEB≌△AHB，

∴AB=BD

∴△DEB≌△CFB，

∴四邊形DEBF的面積等于菱形ABCD面積減去三角形ABD面積，即為三角形ABD的面積，

S四邊形DEBF==

（3）如圖所示，延長AD，作FM⊥AM，交于M，延長DC、AH交于點K，

∵∠DFA=2∠HAB=∠FAK+∠HAB

∴∠FAK=∠HAB=∠FKA

∴AF=FK

∴DF=4-CF，DM=2-CF，MF=（4-CF），

∴AM=4+2-CF=6-CF

又

∴CF=