Question

在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0）；B（0，-2），將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=-

1

2

x²+ax+2經(jīng)過點(diǎn)C．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C除外）使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）過C作CD⊥x軸，垂足為D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點(diǎn)，
∴C的坐標(biāo)為（3，-1）；

（2）①∵拋物線y=-

1

2

x²+ax+2經(jīng)過點(diǎn)C，且C（3，-1），
∴把C的坐標(biāo)代入得：-1=-

9

2

+3a+2，解得：a=

1

2

，
則拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+2；
②存在點(diǎn)P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
（i）若以AB為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
則延長CA至點(diǎn)P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，過點(diǎn)P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
（ii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，過點(diǎn)P₂作P₂N⊥y軸，如圖，

同理可證△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），經(jīng)檢驗(yàn)P₂（-2，-1）也在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
（iii）若以AB為直角邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，過點(diǎn)P₃作P₃H⊥y軸，如圖，

同理可證△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），經(jīng)檢驗(yàn)P₃（2，-3）不在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
則符合條件的點(diǎn)有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）兩點(diǎn)．