Question

如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，ED⊥AD，∠EBC=∠EDC，∠ECB=45°．
（1）求證：BE=CD；
（2）若梯形ABCD為等腰梯形且DE=3，tan∠DCB=4，試求四邊形ABED的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用作輔助線的方法，證明△BEF和△DCF全等，從而得到BE=CD，
（2）由tan∠DCB=4，根據(jù)給出的三角函數(shù)的定義，在△DCF中，tan∠DCB=

DF

CF

，過A作AH⊥BC于H，
設(shè)EF=CF=x，代入求得x的值，從而求出CD的長(zhǎng)，由三角形的全等，CD=BE，證明△AHB≌△DFC，四邊形ADFH是矩形，AD=HF，求得答案．

解答：解：（1）延長(zhǎng)DE交BC于F，
∵AD∥BC，
且ED⊥AD，
∴DE⊥BC，
又∵∠ECB=45°，
∴△ECF為等腰直角三角形．
∴EF=CF，（（2分）
∴在△BEF和△DCF中

∠EBF=∠CDF EF=CF ∠EFB=∠CFD=90°

，
∴△BEF≌△DCF，（4分）
∴BE=CD；（5分）

（2）過A作AH⊥BC于H．
設(shè)EF=CF=x，
∵Rt△DCF中，
tan∠DCB=

3+x

x

，
∴4=

3+x

x

，
x=1，
∴EF=CF=1，（6分）
∴DF=DE+EF=4，
∴BF=DF=4，
∴在Rt△DFC中，
CD=

DF2+CF2

=

42+12

=

17

，
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD=

17

，
又∵△BEF≌△DCF，
∴BE=CD=

17

，（7分）
又∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴AB=CD，
又∵AD∥BC且AH⊥BC，DF⊥BC，
∴AH=DF，
∴在Rt△AHB和△DFC中，

AH=DF AB=CD

，
∴△AHB≌△DFC（HL），（8分）
∴BH=CF=1，
∴HF=BF-BH=4-1=3，（9分）
∴四邊形ABED的周長(zhǎng)為：AB+BE+DE+AD，
=

17

+

17

+3+3，
=6+2

17

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題是一道梯形和函數(shù)綜合性的題目，難度較大．