Question

如圖在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AD=6厘米，DC=4厘米，BC的坡度i=3：4，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以2厘米/秒的速度沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以3厘米/秒的速度沿B?C?D方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求邊BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PC與BQ相互平分；
（3）連接PQ，設(shè)△PBQ的面積為y，探求y與t的函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）作CE⊥AB于E，根據(jù)坡度的定義進(jìn)行求解；
（2）要使PC與BQ相互平分，只需保證四邊形CPBQ是平行四邊形，即可得到關(guān)于t的方程，進(jìn)行求解；
（3）此題要分兩種情況考慮：點(diǎn)Q在BC上，即0≤t≤3

1

3

時(shí)；當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，即3

1

3

＜t≤4

2

3

．
根據(jù)三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)一步求解．

解答：解：（1）作CE⊥AB于E，則四邊形ADCE是矩形．
則CE=AD=6．
又BC的坡度i=CE：BE=3：4，且BE⊥CE，
則CE：BC=3：5，
則BC=10；

（2）要使PC與BQ相互平分，只需保證四邊形CPBQ是平行四邊形，即PB=CQ．
由（1），得AB=4+8=12，則PB=12-2t．
則12-2t=3t-10，
t=4.4．

（3）當(dāng)0≤t≤3

1

3

時(shí)，則BP=12-2t，QF=

3

5

×3t=

9

5

t，
y=

1

2

×

9

5

t（12-2t）=-

9

5

t²+

54

5

t，
當(dāng)t=3時(shí)，y最大，是16.2；
當(dāng)3

1

3

＜t≤4

2

3

時(shí)，則y=

1

2

×6×（12-2t）=-6t+36，
則t=3

1

3

時(shí)，y最大，是16．
綜上所述，則當(dāng)t=3時(shí)，y最大，是16.2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、解直角三角形的知識(shí)、三角形的面積公式．能夠借助函數(shù)的知識(shí)討論圖形的面積最值問(wèn)題．