Question

【題目】如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊三角形；分別以點，，為圓心，以的長為半徑作，，．三段弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形，如果一個曲邊三角形的周長為，那么這個曲邊三角形的面積是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)周長，利用弧長公式，可求得等邊△ABC的邊長，然后用以A、B、C為圓心的三個扇形面積和減2個△ABC的面積解得．

∵曲邊三角形的周長為

∴一條曲邊的長為：π

∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，即一段弧對應的圓心角為60°

∴π

解得：r=2，即AB=BC=AC=2

如下圖，陰影部分是以A為圓心的扇形

面積為：π

同樣以點B、C為圓心的扇形面積也為：π

則這三個扇形面積和為：2π

發(fā)現(xiàn)，三個扇形面積相加，中間的△ABC的面積計算了3次，我們還需要減去2次

如下圖，過點A作BC的垂線，交BC于點D

∵等邊△ABC的邊長為2

∴CD=1，AD=

∴△ABC的面積==

∴曲邊三角形的面積=2π-2

故答案為：