Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=﹣x2+ax+b與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C．設(shè)∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OAOB．

（1）△ABC是否為直角三角形？若是，請(qǐng)給出證明；若不是，請(qǐng)說明理由；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求四邊形ABPC的面積．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+1；（3）四邊形ABPC的面積為．

【解析】試題分析：（1）利用已知得出Rt△BOC∽R(shí)t△COA，進(jìn)而得出∠OCA+∠OCB=90°，即可得出答案；

（2）由題意可得，方程﹣x2+ax+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，可得出b的值，再利用tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得出a的值進(jìn)而得出答案；

（3）作PF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC，進(jìn)而得出答案．

試題解析：（1）△ABC是直角三角形．

理由如下：

∵OC2=OAOB，∴=，

又∵∠BOC=∠COA=90°，∴Rt△BOC∽R(shí)t△COA，∴∠OCB=∠OAC，

又∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，

即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；

（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴方程﹣x2+ax+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

設(shè)這兩個(gè)根分別為x1、x2，且x1＜x2，顯然，x1＜0，x2＞0，

得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x1，0）、B（x2，0），

由根與系數(shù)的關(guān)系，有x1+x2=a，x1x2=﹣b，

對(duì)于拋物線y=﹣x2+ax+b，當(dāng)x=0時(shí)，y=b，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（0，b）；

由已知條件OC2=OAOB，得b2=（﹣x1）x2，即b2=﹣x1x2，∴b2=b，

∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∴b＞0，從而得b=1，

∵tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得﹣=2，即OB﹣OA=2OC，

得x2﹣（﹣x1）=2b，x2+x1=2b，即a=2b，∴a=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+1；

（3）由拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2+2x+1，配方得：y=﹣（x﹣1）2+2，

∴其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1，2）．

解方程﹣x2+2x+1=0，得x1=1﹣，x2=1+，∴A（1﹣，0），B（1+，0），

解法一：設(shè)過P、C兩點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)D，

直線的解析式為：y=kx+1，把P（1，2）坐標(biāo)代入，得k=1，

∴直線PC：y=x+1，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（﹣1，0）．

∵﹣1＜1﹣，∴點(diǎn)D在點(diǎn)A的左邊，

作PF⊥x軸于點(diǎn)F，

∴S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC

= [（1+）+1]×2﹣ [（1﹣）+1]×1

=，

即四邊形ABPC的面積為．

解法二：過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，

則∴S四邊形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB

=OAOC+（OC+PF）OF+FBPF

=（﹣1）×1+（1+2）×1+（1+﹣1）×2

=；

即四邊形ABPC的面積為．