Question

（2012•高郵市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、C、D的坐標(biāo)分別是（1，2

3

）、（4，0）、（3，2

3

），點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AOCD是等腰梯形；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段OC和MC上運(yùn)動(dòng)，且保持∠MPQ=60°不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中：試探究當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O首次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、D的縱坐標(biāo)相等可以得出AD∥OC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可以求出AO、AD和DC的值，從而得出結(jié)論；
（2）由條件可以求出△MOC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可以耳朵出∠MOC=∠MCO=60°，由條件可以得出∠MPO=∠PQC，可以得出△OMP∽△CPQ，由相似三角形的性質(zhì)可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的解析式可以求出y的最值，可以求出當(dāng)x=2時(shí)，可以求出MQ的值，可以求出Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，當(dāng)OP=3時(shí)，x=1，可以求出MQ的值，從而可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵A（1，2

3

）、D（3，2

3

），
∴AD∥OC，
由兩點(diǎn)間的距離公式可以求出OA=

13

，DC=

13

，
∴OA=DC．
∵AD=2，OC=4，
∴AD≠OC
∴梯形AOCD是等腰梯形；
（2）∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM=1，
∴M（2，2

3

），
由兩點(diǎn)間的距離公式可以求出MO=MC=4．
∵OC=4，
∴OM=OC=MC=4
∴△OMC是等邊三角形，
∴∠MOP=∠QCP=60°．
∵∠MPQ=60°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=120°
∴∠2=∠3，
∴△OMP∽△CPQ
∴

OM

PC

=

OP

CQ

即

4

x

=

4-x

4-y

∴y=

1

4

x2-x+4（0≤x≤4）；
（3）∵y=

1

4

x2-x+4，
∴y=

1

4

(x-2)2+3，
∴x=2時(shí)，y_最大=3  即MQ=3．
當(dāng)OP=3時(shí)，x=1，y=

13

4

即，MQ=

13

4

，
∴當(dāng)0≤x≤2時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4-3=1
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

13

4

-3=

1

4

∴當(dāng)P點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E（3，0）時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為1+

1

4

=

5

4

個(gè)單位．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的判定方法的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值的運(yùn)用，解答時(shí)求出三角形MOC是等邊三角形是關(guān)鍵，求Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是難點(diǎn)．