Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且BC=4．

（1）求∠OBC的度數(shù)；

（2）如圖2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在邊BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：

①若點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；

②若點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別是a，b，已知△PQB是等腰三角形時(shí)，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）在OA上取一點(diǎn)D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；

（2）①分∠PQB=90°時(shí)和∠QPB=90°時(shí)兩種情況進(jìn)行解答即可；

②分a＜5和a＞5兩種情況，利用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

【解答】解：（1）如圖1：

在OA上取一點(diǎn)D，使得OD=OB，連接CD，則BD=2OB=4，

∵CO⊥BD，

∴CD=CB=4，

∴CD=CB=BD，

∴△DBC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°；

（2）①由題意，得AP=2t，BQ=t，

∵A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∴PB=5﹣2t，

∵∠OBC=60°≠90°，

∴下面分兩種情況進(jìn)行討論，

Ⅰ）如圖2：

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠OBC=60°，

∴∠BPQ=30°，

∴BQ=，

∴，

解得：t=；

Ⅱ）當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，如圖3：

∵∠OBC=60°，

∴∠BQP=30°，

∴PB=，

∴，

解得：t=2；

②如圖4：

當(dāng)a＜5時(shí)，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=5﹣a，

∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，

∴△PQB是等邊三角形，

∴b=5﹣a，

即a+b=5，

如圖5：當(dāng)a＞5時(shí)，

∵AP=a，BQ=b，

∴BP=a﹣5，

∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，

∴BP=BQ，

∴a﹣5=b，

即a﹣b=5．

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的應(yīng)用等，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．