Question

【題目】如圖， 是的外接圓， 點在邊上， 的平分線交于點，連接，過點作的平行線，與的延長線相交于點.

（1）求證： 是的切線；

（2）求證：△PBD∽△DCA；

（3）當時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）PB= .

【解析】試題分析：（1）連接OD，由直徑所對的圓周角是直角可得∠BAC是直角，再根據AD是角平分線以及圓周角定理可得∠COD是直角，根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODP=90°，從而可得PD是切線；

（2）由∠P=∠ADC，∠PBD=∠ACD，即可得△PBD∽△DCA；

（3）由勾股定理可得BC=10,再根據OD垂直平分BC，可得到DC=DB=5，再根據△PBD∽△DCA，可得 ,從而可得PB的長.

試題解析：（1）連接OD，

∵BC過圓心O，∴BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，

∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠DOC=2∠DAC=90°，

∵PD//BC，∴∠ODP=∠DOC=90°，即OD⊥PO，

∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線；

（2）∵PD//BC，∴∠P=∠ABC，又∠ABC=∠ADC，∴∠P=∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ABD+∠ACD=180°，

∴∠PBD=∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

（3）∵∠BAC=90°，∴BC==10,

∵OD垂直平分BC，∴DB=DC，

∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴DB2+DC2=BC2，

∴DC=DB=5，

∵△PBD∽△DCA，

∴ ,∴PB= = .