Question

【題目】已知如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)， 所對(duì)應(yīng)的數(shù)是， ．

對(duì)于關(guān)于的代數(shù)式，我們規(guī)定：當(dāng)有理數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為之間（包括點(diǎn)， ）的任意一點(diǎn)時(shí)，代數(shù)式取得所有值的最大值小于等于，最小值大于等于，則稱代數(shù)式，是線段的封閉代數(shù)式．

例如，對(duì)于關(guān)于的代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最大值是；當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值是，所以代數(shù)式是線段的封閉代數(shù)式．

問題：（）關(guān)于代數(shù)式，當(dāng)有理數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為之間（包括點(diǎn)， ）的任意一點(diǎn)時(shí)，取得的最大值和最小值分別是__________．

所以代數(shù)式__________（填是或不是）線段的封閉代數(shù)式．

（）以下關(guān)的代數(shù)式：

①；②；③；④．

是線段的封閉代數(shù)式是__________，并證明（只需要證明是線段的封閉代數(shù)式的式子，不是的不需證明）．

（）關(guān)于的代數(shù)式是線段的封閉代數(shù)式，則有理數(shù)的最大值是__________，最小值是__________．

Answer 1

【答案】（）見解析（）④（）；

【解析】試題分析：（1）觀察數(shù)軸，當(dāng)時(shí)， 取得最大值為，當(dāng)時(shí)， 取得最小值為，所以代數(shù)式不是線段的封閉代數(shù)式；

（2）按照封閉代數(shù)式的定義，逐個(gè)分析即可；

（3）觀察代數(shù)式可知，當(dāng)時(shí)， 取得最大值為，列方程求出x的值；當(dāng)時(shí)，

取得最小值為，列方程求出x的值；然后從中選出最大的和最小的.

（）解：當(dāng)時(shí)， 取得最大值為，

當(dāng)時(shí)， 取得最小值為，

∵的最大值，

∴不是線段的封閉代數(shù)式．

（）證明：①∵ ，

∵，

∴，

∵的最小值為，不滿足最小值大于等于，

∴不是線段的封閉代數(shù)式．

②當(dāng)時(shí)，

代數(shù)式取得最大值，不滿足最大值小于等于，

∴不是線段的封閉代數(shù)式．

③當(dāng)時(shí)，

代數(shù)式取得最大值，不滿足最大值小于等于，

∴不是線段的封閉代數(shù)式．

④當(dāng)時(shí)，

原式

，

當(dāng)時(shí)，

原式

，

∴，

當(dāng)時(shí)，

原式

，

綜上所述： 滿足最大值小于等于，最小值大于等于，

∴是線段的封閉代數(shù)式．

（）當(dāng)時(shí)，

取得最大值為，

則或，

∴或，

當(dāng)時(shí)，

取得最小值為，

則或，

∴或，

綜上所述： 的最大值為，最小值為．

點(diǎn)睛:本題考查了信息遷移類題目的解答，用到了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解絕對(duì)值方程等知識(shí)點(diǎn)和分類討論的數(shù)學(xué)思想；正確理解“封閉代數(shù)式”的意義是解答本題的關(guān)鍵.