Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD+AB=14，（AB＞AD），BD=10，BD=DC，E、F分別是BC、CD上的點，且CE+CF=4．
（1）求BC的長；
（2）設(shè)EC的長為x，四邊形AEFD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）在（2）的條件下，如果四邊形AEFD的面積等于40，試求EC的長．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABD中，由AD，AB兩邊關(guān)系及勾股定理可求AB，AD，根據(jù)矩形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)可求BM及BC；
（2）用相似三角形的比求△EFC的EC邊上高FN，圍繞y=S_梯形ABCD-S_△ABE-S_△CEF尋找條件；
（3）代值求解，把y=40，代入即可，舍去負值．

解答：解：（1）作DM⊥BC，垂足為M，在Rt△ABD中，
∵AD+AB=14，AD²+AB²=BD²=10²，且AB＞AD，
解得AB=8，AD=6，
∵AD∥BC，∠BAD=90°
∴BM=AD=6
∵BD=DC，DM⊥BC，
∴M為BC中點，BC=2BM=12

（2）作FN⊥BC于N，設(shè)EC的長為x，則由CE+CF=4得CF=4-x
而MD=AB=8由△CNF∽△CMD可得：

FN

DM

=

CF

CD

即

FN

8

=

4-x

10

∴FN=

4(4-x)

5

∴y=S_梯形ABCD-S_△ABE-S_△CEF=

1

2

（6+12）×8-

1

2

（12-x）×8-

1

2

x×

4(4-x)

5

=

2

5

x²+

12

5

x+24，（0＜x≤4）

（3）由y=40得：

2

5

x²+

12

5

x+24=40，解得x₁=-10，（舍去）x₂=4，即EC=4．

點評：本題考查了直角梯形，矩形，等腰三角形，直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，充分運用了勾股定理，相似三角形的知識表示線段長度，運用割補法表示圖形的面積，具有較強的綜合性．