Question

將自然數(shù)1至6分別寫在一個(gè)正方體的6個(gè)面上，然后把任意相鄰兩個(gè)面上的數(shù)之和寫在這兩個(gè)面的公共棱上．則在這個(gè)正方體中所有棱上的數(shù)的最小值和最大值分別是

1. A.
   7，9
2. B.
   6，9
3. C.
   7，10
4. D.
   6，10

Answer 1

A
分析：棱上的數(shù)可能是3，4，5，6，7，8，9，10，11這9個(gè)數(shù)中的幾個(gè)．
解答：證明：
①根據(jù)題意，相鄰兩面上的數(shù)相加，正方體每個(gè)面都有4個(gè)相鄰面，
所以：每個(gè)面的數(shù)字都是加4遍；
1、2、3、4、5、6這6個(gè)數(shù)的和為21；
所以：不論數(shù)字怎么擺放，12條棱12個(gè)數(shù)字的和恒等于：4×21=84
這6個(gè)數(shù)任取2個(gè)相加，只有9個(gè)不重復(fù)的數(shù)字：3，4，5，6，7，8，9，10，11
所以：根據(jù)“抽屜原理”，12條棱的數(shù)字至少重復(fù)3個(gè)．
即：棱上不同和數(shù)的個(gè)數(shù)最多9個(gè)！
②9個(gè)和數(shù)3，4，5，6，7，8，9，10，11分解：
3=1+2
4=1+3
5=1+4=2+3[可重復(fù)1次]
6=1+5=2+4[可重復(fù)1次]
7=1+6=2+5=3+4[可重復(fù)2次]
8=2+6=3+5[可重復(fù)1次]
9=3+6=4+5[可重復(fù)1次]
10=4+6
11=5+6
如果所有重復(fù)的情況都出現(xiàn)，這些重復(fù)的數(shù)字的和為：
2*（5+6+8+9）+3*7=56+21=77
12個(gè)和數(shù)字的和恒為84，剩余一個(gè)和數(shù)=84-77=7，而7已經(jīng)被重復(fù)了2次，不可能再出現(xiàn)．
所以這種情況不成立．
所以最多只能重復(fù)5次．
即：棱上和數(shù)最少7個(gè)．
故選A．
點(diǎn)評：本題主要考查對幾個(gè)數(shù)的和的大小討論．