Question

如圖，在梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB=14cm，AD=15cm，BC=24cm，點P 從A出發(fā)，沿AD邊向D運動，速度為1cm/s，點Q從C出發(fā)，沿CB邊向B運動，速度為2cm/s，其中一動點達到端點時，另一動點隨之停止運動．從運動開始，
（1）經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD是平行四邊形？
（2）經(jīng)過多少時間，四邊形PQCD成為等腰梯形？
（3）在此過程中，四邊形PQCD的面積是否有最大值？若存在，并求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要使四邊形PQCD是平行四邊形，只需滿足DP=CQ即可，以此求得所用的時間；
（2）四邊形PQCD成為等腰梯形，首先要掌握等腰梯形的性質(zhì)，在運動過程中，當兩腰相等時求得的時間即為所求；
（3）根據(jù)梯形面積公式以及PD，QC的長，結(jié)合一次函數(shù)最值得出即可．

解答：解：設(shè)時間為t秒，則DP=24-t，CQ=3t，
（1）當DP=CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，
此時15-t=2t，
解得t=5（秒）；

（2）作DE⊥CB，E為垂足，
則CE=CB-DA=24-15=9，
∴當CQ-DP=18時，四邊形PQCD為等腰梯形，且PD≠Q(mào)C，
此時2t-（15-t）=18，
解得：t=11（秒）；

（3）四邊形PQCD的面積有最大值，
設(shè)運動時間為t，四邊形PQCD的面積為S，
則S=

1

2

×AB×（PD+QC）=7（15+t）=7t+105，
由題意：t的取值范圍是0＜t≤12，
故當t=12時，四邊形PQCD的面積最大，
所以四邊形PQCD的面積有最大值為189．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)和一次函數(shù)的增減性等知識，根據(jù)已知得出S與t的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．